将一枚硬币连掷100次,试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概 率 .已知 :(1) = 0.8413;(2) = 0.9772 ; 当 x 〉 4 , (x) =1.

本题考察隶莫佛--拉普拉斯定理（即二项分布的正态近似）的应用，用于计算独立重复试验中事件发生次数的概率。

步骤1：明确随机变量分布

设$\xi$为100次掷硬币中正面出现的次数，则$\xi\sim B(n,p)$，其中$n=100$（试验次数），$p=0.5$（正面概率，硬币均匀）。

• 期望：$\mu = np = 100\times0.5=50$
• 方差：$\sigma^2 = np(1-p)=100\times0.5\times0.5=25$，标准差$\sigma=5$

步骤2：用隶莫佛--拉普拉斯定理近似

定理指出：当$n$很大时，$\frac{\xi - np}{\sqrt{np(1-p)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$，即$\frac{\xi - 50}{5}\sim N(0,1)$（近似）。

步骤3：计算$P\{\xi>60\}$

$P\{\xi>60\}=P\{60<\xi\leq100\}$（因$\xi$最大为100），标准化得：
$P\{60<\xi\leq100\}=P\left\{\frac{60-50}{5}<\frac{\xi-50}{5}\leq\frac{100-50}{5}\right\}=P\{2 其中$Z\sim N(0,1)$，分布函数为$\Phi(x)$。

步骤4：查标准正态分布表

• $P\{Z\leq10\}\approx1$（因$x>4$时$\Phi(x)=1$）
• $P\{Z\leq2\}=\Phi(2)=0.9772$（题目已知）

故：
$P\{2