若lim _(xarrow infty )(dfrac ({x)^2+1}(x+1)-ax-b)=0，求a，b的值..

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是当变量趋向于无穷大时，分式极限的求解方法。关键在于分析分子和分母的最高次项，通过消去高阶无穷大项，使整体极限趋于0。

解题核心思路：

1. 消去分子中的高阶项：当分式极限为0时，分子的最高次数必须低于分母的次数。因此，首先通过调整系数，使分子的最高次项被消除。
2. 处理剩余项：在消除高阶项后，剩余项的系数需进一步调整，使得整体分式的极限为0。

破题关键点：

• 确定分子最高次项的系数为0，从而消去高阶无穷大项。
• 剩余项的系数需满足极限为0的条件，通过比较分子和分母的主导项系数得出结果。

步骤1：整理分子表达式
原式分子为：
$x^2 + 1 - a x^2 - b x - a x = (1 - a)x^2 + (-a - b)x + 1$
分母为：
$x + 1$

步骤2：分析最高次项
当$x \to \infty$时，分式的极限由分子和分母的最高次项决定。

• 若分子最高次项为$x^2$（即$1 - a \neq 0$），则分式极限为$\infty$，与题目矛盾。
• 因此，必须消去$x^2$项，即令$1 - a = 0$，解得$a = 1$。

步骤3：处理剩余项
将$a = 1$代入分子，剩余项为：
$(-1 - b)x + 1$
此时分式为：
$\frac{(-1 - b)x + 1}{x + 1}$
当$x \to \infty$时，分式近似为：
$\frac{(-1 - b)x}{x} = -1 - b$
根据题意，极限为0，故：
$-1 - b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1$

验证：
将$a = 1$，$b = -1$代入原式，分子变为$1$，分式为$\frac{1}{x + 1}$，当$x \to \infty$时极限为0，符合要求。