2 2 37-|||-(4)已知 A= 1 -1 ,则 ^-1= __-|||--1 2 1

步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵 $[A|I]$，其中 $I$ 是单位矩阵，$A$ 是给定的矩阵。增广矩阵为：
$$
\left [ \begin{matrix} 2 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\end{matrix} \right ]
$$

步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，目标是将左侧的矩阵 $A$ 变换为单位矩阵 $I$，右侧的矩阵 $I$ 将变为 $A^{-1}$。具体步骤如下：
- 交换第一行和第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\end{matrix} \right ]
$$
- 第二行减去第一行的2倍，第三行加上第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 3 & | & 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 1\end{matrix} \right ]
$$
- 第二行减去第三行的4倍，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -6 & -4\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 1\end{matrix} \right ]
$$
- 第三行加上第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -6 & -4\\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -5 & -3\end{matrix} \right ]
$$
- 第一行加上第三行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -4 & -3\\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -6 & -4\\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -5 & -3\end{matrix} \right ]
$$
- 第二行乘以-1，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -4 & -3\\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -5 & -3\end{matrix} \right ]
$$
- 交换第二行和第三行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -5 & -3\\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 6 & 4\end{matrix} \right ]
$$

步骤 3：得到逆矩阵
左侧的矩阵已经变为单位矩阵，右侧的矩阵即为 $A^{-1}$。