设A为列满秩矩阵, =C, 证明方程 Bx=0 与 .x=0 同解.

本题考查矩阵的秩、齐次线性方程组解的性质以及同解方程组的证明。解题的关键思路是分别证明方程 $Bx = 0$ 的解是是方程 $Cx = 0$ 的解，以及方程 $Cx = 0$ 的解是方程 $Bx = 0$ 的解，从而证明过程中要利用列满秩矩阵的性质。

证明 $Bx = 0$ 的解是 $Cx = 0$ 的解

设 $x_0$ 是方程 $Bx = 0$ 的解，根据解的定义，将 $x_0$ 代入方程 $Bx = 0$ 中，可得：
$Bx_0 = 0$
已知 $AB = C$，将上式两边同时左乘矩阵 $A$，得到：
$A(Bx_0=A(Bx_0)$
根据矩阵乘法的结合律 $A(Bx_0)=(AB)x_0$ = Cx_0)，又因为 $Bx_0 =0$，所以 $\( \(A$ 与零矩阵相乘结果仍为零矩阵，即 $Cx_0 = 0$。
这表明 $x_0$ 也是方程 $Cx = 0的解，即方程 \(Bx = 0$ 的解都是方程 $Cx = 0$ 的解。

证明 $Cx = 0$ 的解是 $Bx = 0$ 的解

设 $x_1\ast$ 是方程 $Cx = 0$ 的解，根据解的定义将 $x_*$ 代入方程 \(Cx = 0中，可得： $Cx_* = 0$
因为 $AB = C$，所以 $Cx_* = (AB)x_* = 0，再根据矩阵乘法的结合律可得 \(A(Bx_*) = 0$。
由于 $A$ 为列满秩矩阵，根据定理可知方程 $Ay = 0$ 只有零解。
令 $y = Bx_*$，则 $Ay=A(Bx_*) = 0$，所以 $Bx_* = 0$。
这表明 $x_*$ 也是方程 $Bx = 0$ 的解，即方程 $Cx = 0$ 的解都是方程 $Bx = 0$ 的解。

综上，方程 $Bx = 0$ 与 $Cx = 0$ 同解。