单位将10个培训名额分配给4个分公司，要求在每个分公司至少分配1个名额的所有分配方案中，随机选择1个方案实施，问4个分公司中有3个分配名额数量相同的概率为多少？A. 3/50B. 1/10C. 3/25D. 1/7

考查要点：本题主要考查排列组合中的整数划分问题，以及概率计算的能力。关键在于正确计算符合条件的分配方案数与总分配方案数的比值。

解题核心思路：

1. 总分配方案数：将10个名额分给4个分公司，每个至少1个，转化为将剩余6个名额自由分配，使用隔板法计算。
2. 符合条件的方案数：分析三个分公司名额数相同、第四个不同的情况，需枚举可能的名额分配组合，并计算排列方式。

破题关键点：

• 总方案数：通过隔板法确定为$C(9,3)=84$。
• 符合条件的分配：需满足$3k + m = 10$（$k \neq m$，且$k, m \geq 1$），分别讨论$k=1,2,3$的情况，每种对应4种排列方式，共$3 \times 4 = 12$种。

总分配方案数

将10个名额分给4个分公司，每个至少1个，等价于将剩余6个名额自由分配。根据隔板法，方案数为：
$C(6 + 4 - 1, 4 - 1) = C(9,3) = 84$

符合条件的分配方案数

设三个分公司的名额数为$k$，第四个为$m$，满足：
$3k + m = 10 \quad (k \neq m, \, k, m \geq 1)$

枚举可能的$k$值：

1. $k=1$：$m=7$，分配方式为选1个分公司分7个，其余分1个，共$C(4,1)=4$种。
2. $k=2$：$m=4$，同理有4种分配方式。
3. $k=3$：$m=1$，同理有4种分配方式。

总符合条件的方案数：
$3 \times 4 = 12$

概率计算

概率为：
$\frac{12}{84} = \frac{1}{7}$