设某向量组的秩为r,则下列对该向量组所下的结论中错误的是()A. 所有含r个向量的向量组都线性无关B. 至少存在一个线性无关的向量组含有r个向量C. 所有线性无关的向量组含有的向量个数不超过rD. 所有含r+1个向量的向量组都线性相关

本题考查向量组的秩的相关知识。解题的关键在于理解向量组的秩的定义以及它与向量组线性相关性之间的关系。向量组的秩是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

对选项A的分析

向量组的秩为$r$，只能说明存在一个含有$r$个向量的线性无关组，但并不是所有含$r$个向量的向量组都线性无关。例如，设向量组$\vec{\alpha}_1=(1,0,0)$，$\vec{\alpha}_2=(2,0,0)$，$\vec{\alpha}_3=(0,1,0)$，该向量组的秩$r = 2$，而向量组$\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2\}$是含$2$个向量的向量组，但$\vec{\alpha}_2 = 2\vec{\alpha}_1$，这两个向量线性相关。所以选项A错误。

对选项B的分析

根据向量组秩的定义，向量组的秩$r$就是向量组中最大线性无关组所含向量的个数，所以至少存在一个线性无关的向量组含有$r$个向量，选项B正确。

对选项C的分析

因为向量组的秩$r$是向量组中最大线性无关组所含向量的个数，所以所有线性无关的向量组含有的向量个数必然不超过$r$，选项C正确。

对选项D的分析

若向量组的秩为$r$，那么任何含有多于$r$个向量的向量组一定线性相关。这是因为如果存在一个含有$r + 1$个向量的线性无关组，那么向量组的秩就至少为$r + 1$，与已知向量组的秩为$r$矛盾，所以所有含$r + 1$个向量的向量组都线性相关，选项D正确。