5.已知 arrow 0 时, ^-(x^2)-cos sqrt (2)x 与ax^n是等价无穷小,求n,a.

步骤 1：利用泰勒展开式
首先，我们需要利用泰勒展开式来展开 ${e}^{-{x}^{2}}$ 和 $\cos \sqrt {2}x$。泰勒展开式可以将函数在某一点附近用多项式来近似表示，对于 $x\rightarrow 0$ 时，我们可以使用麦克劳林级数（泰勒级数在 $x=0$ 处的特殊情况）来展开这些函数。

步骤 2：展开 ${e}^{-{x}^{2}}$
${e}^{-{x}^{2}}$ 的麦克劳林级数展开为：
${e}^{-{x}^{2}} = 1 - {x}^{2} + \frac{{x}^{4}}{2!} - \frac{{x}^{6}}{3!} + \cdots$

步骤 3：展开 $\cos \sqrt {2}x$
$\cos \sqrt {2}x$ 的麦克劳林级数展开为：
$\cos \sqrt {2}x = 1 - \frac{(\sqrt{2}x)^{2}}{2!} + \frac{(\sqrt{2}x)^{4}}{4!} - \cdots = 1 - \frac{2{x}^{2}}{2!} + \frac{4{x}^{4}}{4!} - \cdots = 1 - {x}^{2} + \frac{{x}^{4}}{3} - \cdots$

步骤 4：计算 ${e}^{-{x}^{2}}-\cos \sqrt {2}x$
将上述两个展开式相减，得到：
${e}^{-{x}^{2}}-\cos \sqrt {2}x = (1 - {x}^{2} + \frac{{x}^{4}}{2!} - \cdots) - (1 - {x}^{2} + \frac{{x}^{4}}{3} - \cdots) = \frac{{x}^{4}}{2!} - \frac{{x}^{4}}{3} + \cdots = \frac{{x}^{4}}{6} + \cdots$

步骤 5：确定等价无穷小
由于 ${e}^{-{x}^{2}}-\cos \sqrt {2}x$ 与 $ax^n$ 是等价无穷小，所以 $n=4$，且 $a=\frac{1}{6}$。