lim_(xtoinfty)((2x-1)/(2x+1))^2x-1=[]A. 1;B. e;C. e^-(1)/(2);D. e^-2.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是1的∞次方型不定式的处理方法，以及如何将其转化为自然指数形式。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：当$x \to \infty$时，底数$\frac{2x-1}{2x+1} \to 1$，指数$2x-1 \to \infty$，属于“$1^\infty$”型不定式。
2. 变形与近似：将底数表示为$1 + \frac{-2}{2x+1}$，利用极限公式$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$。
3. 对数转换法：通过取对数将指数部分线性化，结合泰勒展开简化计算。

破题关键点：

• 底数与1的差值：$\frac{2x-1}{2x+1} - 1 = -\frac{2}{2x+1}$，体现底数趋近于1的速度。
• 指数与分母的关联：通过变量替换或直接展开，将指数与分母的比值转化为常数。

步骤1：变形底数
将底数$\frac{2x-1}{2x+1}$改写为：
$\frac{2x-1}{2x+1} = 1 - \frac{2}{2x+1}.$

步骤2：构造自然指数形式
原式可表示为：
$\left(1 - \frac{2}{2x+1}\right)^{2x-1}.$
令$n = 2x+1$，当$x \to \infty$时，$n \to \infty$，且指数$2x-1 = n - 2$。此时表达式变为：
$\left(1 - \frac{2}{n}\right)^{n-2}.$

步骤3：应用极限公式
根据公式$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$，当$a = -2$时：
$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n = e^{-2}.$
由于$n-2 \approx n$当$n$很大时，原式极限为：
$e^{-2}.$

步骤4（验证）：对数转换法
设原式为$L$，取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} (2x-1) \ln\left(1 - \frac{2}{2x+1}\right).$
利用泰勒展开$\ln(1 - y) \approx -y$（$y = \frac{2}{2x+1}$）：
$\ln L \approx \lim_{x \to \infty} (2x-1) \cdot \left(-\frac{2}{2x+1}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x + 2}{2x + 1} = -2.$
因此$L = e^{-2}$。