题目
【题文】求由=(e)^x: x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为 ( ) A．［0，=(e)^x: x=2,y=1］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］
【题文】求由
围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为 ( )
围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为 ( )A．［0， ］ | B．［0，2］ | C．［1，2］ | D．［0，1］ |
题目解答
答案
B. ［0，2］
解析
步骤 1：确定积分区间
为了确定积分区间，我们需要找到曲线$y={e}^{x}$与直线$y=1$和$x=2$的交点。首先，$y=1$时，$1={e}^{x}$，解得$x=0$。因此，曲线$y={e}^{x}$与直线$y=1$的交点为$(0,1)$。其次，曲线$y={e}^{x}$与直线$x=2$的交点为$(2,{e}^{2})$。因此，积分区间为$[0,2]$。
步骤 2：计算曲边梯形的面积
曲边梯形的面积可以通过计算定积分$\int_{0}^{2}({e}^{x}-1)dx$来得到。这是因为$y={e}^{x}$在$[0,2]$区间内始终大于$y=1$，所以曲边梯形的面积等于$y={e}^{x}$与$y=1$之间的面积差。
步骤 3：计算定积分
计算定积分$\int_{0}^{2}({e}^{x}-1)dx$，得到$({e}^{x}-x)|_{0}^{2}={e}^{2}-2-(1-0)={e}^{2}-3$。因此，曲边梯形的面积为${e}^{2}-3$。
为了确定积分区间，我们需要找到曲线$y={e}^{x}$与直线$y=1$和$x=2$的交点。首先，$y=1$时，$1={e}^{x}$，解得$x=0$。因此，曲线$y={e}^{x}$与直线$y=1$的交点为$(0,1)$。其次，曲线$y={e}^{x}$与直线$x=2$的交点为$(2,{e}^{2})$。因此，积分区间为$[0,2]$。
步骤 2：计算曲边梯形的面积
曲边梯形的面积可以通过计算定积分$\int_{0}^{2}({e}^{x}-1)dx$来得到。这是因为$y={e}^{x}$在$[0,2]$区间内始终大于$y=1$，所以曲边梯形的面积等于$y={e}^{x}$与$y=1$之间的面积差。
步骤 3：计算定积分
计算定积分$\int_{0}^{2}({e}^{x}-1)dx$，得到$({e}^{x}-x)|_{0}^{2}={e}^{2}-2-(1-0)={e}^{2}-3$。因此，曲边梯形的面积为${e}^{2}-3$。