题目
16. (2022.辽宁)函数f(x)=}sqrt(1-x^2)&x>0ln(1+x)&xleq0的定义域为____
16. (2022.辽宁)函数$f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x^{2}}&x>0\\\ln(1+x)&x\leq0\end{cases}$的定义域为____
题目解答
答案
对于分段函数 $ f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x^2} & x > 0 \\ \ln(1 + x) & x \leq 0 \end{cases} $，分别求各段定义域：
1. 当 $ x > 0 $ 时，$ \sqrt{1 - x^2} $ 有意义，需 $ 1 - x^2 \geq 0 $，解得 $ 0 < x \leq 1 $。
2. 当 $ x \leq 0 $ 时，$ \ln(1 + x) $ 有意义，需 $ 1 + x > 0 $，解得 $ -1 < x \leq 0 $。
合并两段定义域，得 $ -1 < x \leq 1 $，即定义域为 $ (-1, 1] $。
**答案：** $\boxed{(-1, 1]}$
解析
分段函数的定义域需要分别考虑各段的定义域，再取并集。
- 第一段（$x > 0$）：$\sqrt{1 - x^2}$要求根号内非负，即$1 - x^2 \geq 0$，结合$x > 0$，得$0 < x \leq 1$。
- 第二段（$x \leq 0$）：$\ln(1 + x)$要求对数内大于0，即$1 + x > 0$，结合$x \leq 0$，得$-1 < x \leq 0$。
合并两段定义域，最终结果为$(-1, 1]$。
第（1）段：$x > 0$时的定义域
根号内非负
$\sqrt{1 - x^2}$有意义的条件是：
$1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1.$
但本段定义域要求$x > 0$，因此取交集：
$0 < x \leq 1.$
第（2）段：$x \leq 0$时的定义域
对数内大于0
$\ln(1 + x)$有意义的条件是：
$1 + x > 0 \implies x > -1.$
本段定义域要求$x \leq 0$，因此取交集：
$-1 < x \leq 0.$
合并定义域
将两段定义域合并：
$(-1 < x \leq 0) \cup (0 < x \leq 1) = (-1, 1].$