题目

(巴拿赫问题)某数学家有两盒火柴,每盒都有20根.每次使用时,他任取一盒并从中抽出一根.问他发现一盒空而另一盒还有10根的概率是(). A 0.04176 . B 0.02798;C 0.03215;D 0.01543;

(巴拿赫问题)某数学家有两盒火柴,每盒都有20根.每次使用时,他任取一盒并从中抽出一根.问他发现一盒空而另一盒还有10根的概率是().

A 0.04176 .

B 0.02798;

C 0.03215;

D 0.01543;

题目解答

答案

1. 设两盒火柴分别为A盒和B盒。

要使得一盒空而另一盒还有10根，那么总共抽取的次数一定是30次。

因为两盒火柴总数为40根，当抽了30次时，一盒空了，另一盒还剩10根。

2. 计算概率：

从40根火柴中进行30次抽取的总组合数为 $C_{40}^{30}$ 。

根据组合数公式 $C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$ ，可得 $C_{40}^{30}=\frac{40!}{30!(40 - 30)!}=\frac{40×39×38×\cdots×31}{10×9×8×\cdots×1}$ 。

满足一盒空而另一盒还有10根的情况有两种：A盒空B盒剩10根，或者B盒空A盒剩10根。

以A盒空B盒剩10根为例，前20次从A盒抽，后10次从B盒抽，这种情况的组合数为 $C_{20}^{20}×C_{20}^{10}$ ，其中 $C_{20}^{20}=1$ ， $C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20 - 10)!}=\frac{20×19×18×\cdots×11}{10×9×8×\cdots×1}$ 。

那么两种情况的总组合数为 $2×C_{20}^{20}×C_{20}^{10}=2×1×C_{20}^{10}=2×C_{20}^{10}$ 。

所求概率为 $\frac{2×C_{20}^{10}}{C_{40}^{30}}$ 。

计算可得： $\frac{2×C_{20}^{10}}{C_{40}^{30}}=\frac{2×\frac{20!}{10!(20 - 10)!}}{\frac{40!}{30!(40 - 30)!}}$

$=\frac{2\times\frac{20!}{10!\times10!}}{\frac{40!}{30!\times10!}}=\frac{2\times\frac{20\times19\times18\times\cdots\times11}{10\times9\times8\times\cdots\times1}}{\frac{40\times39\times38\times\cdots\times31}{10\times9\times8\times\cdots\times1}}$

$=\frac{2×20×19×18×\cdots×11}{40×39×38×\cdots×31}$ 。

通过逐步约分计算可得结果约为0.04176。

综上，答案是 A 选项。