【题目】一质点的运动学方程为 x=t^2 , y=(t-1)^2 ,x和y均以m为单位,t以s为单位.求(1)质点的轨迹方程;(2)在t=2s时质点的速度和加速度.

考查要点：本题主要考查质点运动学方程的轨迹方程求解，以及速度、加速度的计算。

解题思路：

1. 轨迹方程：通过消去参数时间$t$，将参数方程$x(t)$和$y(t)$转化为仅含$x$和$y$的关系式。
2. 速度与加速度：分别对位置坐标$x(t)$和$y(t)$求一阶导数（速度）和二阶导数（加速度），再代入特定时间$t=2\,\text{s}$。

关键点：

• 消参法：利用$x = t^2$解出$t = \sqrt{x}$，代入$y = (t-1)^2$。
• 导数运算：注意对向量分量分别求导，速度是位置对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

第（1）题：轨迹方程

1. 消去参数$t$
   由$x = t^2$得$t = \sqrt{x}$，代入$y = (t-1)^2$，得：
   $y = (\sqrt{x} - 1)^2$

2. 整理方程
   展开后为：
   $y = x - 2\sqrt{x} + 1$
   或保持根号形式：
   $\sqrt{y} = \sqrt{x} - 1$
   （注意：$x \geq 0$且$y \geq 0$）

第（2）题：速度与加速度

1. 位置向量
   质点的位置向量为：
   $\mathbf{r}(t) = t^2 \mathbf{i} + (t-1)^2 \mathbf{j}$

2. 速度计算
   对$\mathbf{r}(t)$求导：
   $\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = 2t \mathbf{i} + 2(t-1) \mathbf{j}$
   当$t=2\,\text{s}$时：
   $\mathbf{v}(2) = 4 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} \, \text{m/s}$

3. 加速度计算
   对$\mathbf{v}(t)$求导：
   $\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = 2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}$
   加速度恒定，与时间无关：
   $\mathbf{a}(2) = 2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} \, \text{m/s}^2$