题目

设矩阵 -1-|||-A= 0 0 0-|||-2 0 -2，n为正整数，a为常数，则行列式 -1-|||-A= 0 0 0-|||-2 0 -2___。

设矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&0&-1 \newline 0&0&0 \newline 2&0&-2 \end{bmatrix}$ ，n为正整数，a为常数，则行列式 $\mid aE-A^n\mid=$ ___。

题目解答

∵ $A=\begin{bmatrix} 1&0&-1 \newline 0&0&0 \newline 2&0&-2 \end{bmatrix}$

∴ $A^2=\begin{bmatrix} 1&0&-1 \newline 0&0&0 \newline 2&0&-2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&-1 \newline 0&0&0 \newline 2&0&-2 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -1&0&1 \newline 0&0&0 \newline -2&0&2 \end{bmatrix}$

$=-A$

可推出： $A^3=A^2·A=-A^2=-\left(-A\right)$ ；

故可得： $A^n=\left(-1\right)^{n-1}A$ ；

∴ $aE-A^n$

$=\begin{bmatrix} a+(-1)^{n}&0& (-1)^{n+1}\newline 0&a&0 \newline (-1)^{n} \times2&0& a+(-1)^{n+1} \times2 \end{bmatrix}$

∴ $\mid aE-A^n\mid$

$=\begin{vmatrix} a+(-1)^{n}&0& (-1)^{n+1}\newline 0&a&0 \newline (-1)^{n} \times2&0& a+(-1)^{n+1} \times2 \end{vmatrix}$

$=a\left[\left(a+\left(-1\right)^n\right)\left(a+\left(-1\right)^{n+1}\times2\right)-\left(-1\right)^{2n+1}\times2\right]$

$=a\left[a^2+\left(-1\right)^na+\left(-1\right)^{n+1}\times2a\right]$

$=a^2\left[a-\left(-1\right)^n\right]$ ；

故本题的答案是： $a^2\left[a-\left(-1\right)^n\right]$ 。