题目

57.)设随机变量X服从参数为1的指数分布,-|||-试求以下Y的密度函数-|||-(1) Y=e^x;-|||-(2) Y=X^2;-|||-(3) =((x-2))^2;-|||-(4) =1-(e)^-x

题目解答

答案

解析

本题考查指数分布的变量变换，需掌握概率密度函数的变换方法。核心思路是通过反函数法，找到原变量与新变量之间的关系，利用公式$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$求解。关键点在于：

  1. 确定新变量的取值范围；
  2. 求原变量关于新变量的反函数；
  3. 计算反函数的导数；
  4. 代入原密度函数并化简。

（1）$Y = e^X$

  1. 确定取值范围：$X \geq 0 \Rightarrow Y = e^X \geq 1$；
  2. 求反函数：$X = \ln Y$；
  3. 导数计算：$\frac{d}{dy} \ln y = \frac{1}{y}$；
  4. 代入公式：
    $f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \frac{1}{y} = e^{-\ln y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y^2}, \quad y \geq 1.$

（2）$Y = X^2$

  1. 确定取值范围：$X \geq 0 \Rightarrow Y \geq 0$；
  2. 求反函数：$X = \sqrt{Y}$；
  3. 导数计算：$\frac{d}{dy} \sqrt{y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$；
  4. 代入公式：
    $f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, \quad y \geq 0.$

（3）$Y = (X-2)^2$

  1. 确定取值范围：$X \geq 0 \Rightarrow Y \geq 0$；
  2. 求反函数：$X = 2 \pm \sqrt{Y}$；
    • 当$Y \leq 4$时，$X = 2 - \sqrt{Y} \geq 0$，两个解均有效；
    • 当$Y > 4$时，仅$X = 2 + \sqrt{Y}$有效；
  3. 导数计算：$\frac{d}{dy} (2 \pm \sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$；
  4. 分情况讨论：
    • $Y \leq 4$：
      $f_Y(y) = \left[ e^{-(2+\sqrt{y})} + e^{-(2-\sqrt{y})} \right] \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}};$
    • $Y > 4$：
      $f_Y(y) = e^{-(2+\sqrt{y})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}.$

（4）$Y = 1 - e^{-X}$

  1. 确定取值范围：$X \geq 0 \Rightarrow Y \in [0, 1)$；
  2. 求反函数：$X = -\ln(1 - Y)$；
  3. 导数计算：$\frac{d}{dy} (-\ln(1 - y)) = \frac{1}{1 - y}$；
  4. 代入公式：
    $f_Y(y) = f_X(-\ln(1 - y)) \cdot \frac{1}{1 - y} = 1, \quad 0 \leq y < 1.$