(3) int_(4)^9 sqrt(x)(1+sqrt(x))dx;

本题考查定积分的计算，解题思路是先将被积函数展开化简，然后求出展开后函数的原函数，最后利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分的值。

1. 展开被积函数：
   已知被积函数为$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$，根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，可得：
   $\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})=\sqrt{x}+x$
2. 求原函数：
   根据不定积分的加法法则$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，分别对$\sqrt{x}$和$x$求不定积分。
   • 对于$\int \sqrt{x}dx$，因为$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，根据幂函数的积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$。
   • 对于$\int xdx$，同样根据幂函数的积分公式，可得$\int xdx=\frac{1}{1 + 1}x^{1 + 1}+C=\frac{1}{2}x^2+C$。
     所以$\int (\sqrt{x} + x)dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}x^2+C$。
3. 计算定积分：
   根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$F^\prime(x)$的一个原函数。
   已知$\int (\sqrt{x} + x)dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}x^2+C$，则$\int_{4}^{9} \sqrt{x}(1 + \sqrt{x})dx=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}x^2\right]_{4}^{9}$。
   将$x = 9$和$x = 4$代入$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}x^2$可得：
   $\left(\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}\times 9^2\right)-\left(\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}\times 4^2\right)$
   $=\left(\frac{2}{3}\times 27+\frac{81}{2}\right)-\left(\frac{2}{3}\times 8 + 8\right)$
   $=(18+\frac{81}{2})-(\frac{16}{3}+8)$
4. 化简结果：
   先将括号内的分数通分：
   $(\frac{36}{2}+\frac{81}{2})-(\frac{16}{3}+\frac{24}{3})$
   $=\frac{117}{2}-\frac{40}{3}$
   再通分计算：
   $\frac{117\times 3}{2\times 3}-\frac{40\times 2}{3\times 2}=\frac{351}{6}-\frac{80}{6}=\frac{271}{6}=45\frac{1}{6}$