求线性方程组 } x_1 + x_2 + x_3 = 1, x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3 的通解。

将方程组 \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1, \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3 \end{cases} \] 通过消元法简化。从第二个方程中减去第一个方程，得 \[ x_2 + 2x_3 = 2. \] 由第一个方程得 \[ x_1 = 1 - x_2 - x_3. \] 将 $x_2 = 2 - 2x_3$ 代入，得 \[ x_1 = 1 - (2 - 2x_3) - x_3 = -1 + x_3. \] 设 $x_3 = t$（自由变量），则 \[ \begin{cases} x_1 = -1 + t, \\ x_2 = 2 - 2t, \\ x_3 = t. \end{cases} \] 或向量形式 \[ \boxed{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \text{其中 } t \text{ 为任意实数。} } \]