题目
求下列极限：lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(2)+dfrac (1)(4)+... +dfrac (1)({2)^n}).
求下列极限：
.
题目解答
答案
根据等比数列的求和公式
可得数列的和：（首项
，公比
，项数是
）
∴
.
令
可得：
.
解析
步骤 1：识别数列类型
数列$1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}$是一个等比数列，其中首项${a}_{1}=1$，公比$q=\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的求和公式为${S}_{n}=\dfrac {{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$，将首项${a}_{1}=1$和公比$q=\dfrac {1}{2}$代入公式，得到数列的和为：
$1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}=\dfrac {1\times [ 1-{(\dfrac {1}{2})}^{n+1}] }{1-\dfrac {1}{2}}$.
步骤 3：化简求和公式
化简上述求和公式，得到：
$1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}=2[ 1-{(\dfrac {1}{2})}^{n+1}] $.
步骤 4：求极限
当$n\rightarrow \infty$时，${(\dfrac {1}{2})}^{n+1}\rightarrow 0$，因此：
$\lim _{n\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}})=\lim _{n\rightarrow \infty }2[ 1-{(\dfrac {1}{2})}^{n+1}] =2\times (1-0)=2$.
数列$1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}$是一个等比数列，其中首项${a}_{1}=1$，公比$q=\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的求和公式为${S}_{n}=\dfrac {{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$，将首项${a}_{1}=1$和公比$q=\dfrac {1}{2}$代入公式，得到数列的和为：
$1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}=\dfrac {1\times [ 1-{(\dfrac {1}{2})}^{n+1}] }{1-\dfrac {1}{2}}$.
步骤 3：化简求和公式
化简上述求和公式，得到：
$1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}}=2[ 1-{(\dfrac {1}{2})}^{n+1}] $.
步骤 4：求极限
当$n\rightarrow \infty$时，${(\dfrac {1}{2})}^{n+1}\rightarrow 0$，因此：
$\lim _{n\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\cdots +\dfrac {1}{{2}^{n}})=\lim _{n\rightarrow \infty }2[ 1-{(\dfrac {1}{2})}^{n+1}] =2\times (1-0)=2$.