题目
求指导本题解题过程，谢谢您！设随机变量X的密度函数为 (x)=dfrac (1)(2)(e)^-|x|(-infty lt xlt +infty ),-|||-则 (-1leqslant Xleqslant 1)= __-|||-A 0-|||-B https:/img.zuoyebang.cc/zyb_2546b7a45523eeba393493b53473c9fe.jpg-(e)^-1-|||-C ^-1-|||-D ^-1-1
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
题目要求求解 $P(-1\leqslant X\leqslant 1)$，即求随机变量X在区间[-1, 1]上的概率。根据概率密度函数的定义，这个概率可以通过对密度函数在该区间上的积分来计算。
步骤 2：分段积分
由于密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{-|x|}$ 中的绝对值函数，我们需要将积分区间[-1, 1]分成两部分，即[-1, 0]和[0, 1]，分别计算这两部分的积分。
步骤 3：计算积分
在区间[-1, 0]上，$|x|=-x$，因此 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{x}$。在区间[0, 1]上，$|x|=x$，因此 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{-x}$。分别计算这两个区间的积分，然后相加得到最终结果。
$$
P(-1\leqslant X\leqslant 1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}\dfrac {1}{2}{e}^{x}dx+{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{2}{e}^{-x}dx
$$
$$
=\dfrac {1}{2}{e}^{x}{\int }_{-1}^{0}-\dfrac {1}{2}{e}^{-x}{10}^{1}=\dfrac {1}{2}(1-{e}^{-1})-\dfrac {1}{2}({e}^{-1}-1)=1-{e}^{-1}
$$
题目要求求解 $P(-1\leqslant X\leqslant 1)$，即求随机变量X在区间[-1, 1]上的概率。根据概率密度函数的定义，这个概率可以通过对密度函数在该区间上的积分来计算。
步骤 2：分段积分
由于密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{-|x|}$ 中的绝对值函数，我们需要将积分区间[-1, 1]分成两部分，即[-1, 0]和[0, 1]，分别计算这两部分的积分。
步骤 3：计算积分
在区间[-1, 0]上，$|x|=-x$，因此 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{x}$。在区间[0, 1]上，$|x|=x$，因此 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{-x}$。分别计算这两个区间的积分，然后相加得到最终结果。
$$
P(-1\leqslant X\leqslant 1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}\dfrac {1}{2}{e}^{x}dx+{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{2}{e}^{-x}dx
$$
$$
=\dfrac {1}{2}{e}^{x}{\int }_{-1}^{0}-\dfrac {1}{2}{e}^{-x}{10}^{1}=\dfrac {1}{2}(1-{e}^{-1})-\dfrac {1}{2}({e}^{-1}-1)=1-{e}^{-1}
$$