题目
求函数=(x)^2+(y)^2在条件=(x)^2+(y)^2下的极值。
求函数
在条件
下的极值。
题目解答
答案
从条件中可解出
，于是函数可化为关于
的一元函数
，当
时，有极小值
，所以在点
取到极小值
。
解析
步骤 1：将条件转换为一个变量的函数
从条件x+y=4中可解出y=4-x，于是函数$z={x}^{2}+{y}^{2}$可化为关于x的一元函数$z={x}^{2}+{(4-x)}^{2}=2{x}^{2}-8x+16$。
步骤 2：求导数
对函数$z=2{x}^{2}-8x+16$求导，得到$z'=4x-8$。
步骤 3：求导数为0的点
令$z'=4x-8=0$，解得$x=2$。
步骤 4：验证极值
将$x=2$代入原函数$z={x}^{2}+{(4-x)}^{2}$，得到$z=2^{2}+{(4-2)}^{2}=4+4=8$。因此，函数在点(2,2)取到极小值8。
从条件x+y=4中可解出y=4-x，于是函数$z={x}^{2}+{y}^{2}$可化为关于x的一元函数$z={x}^{2}+{(4-x)}^{2}=2{x}^{2}-8x+16$。
步骤 2：求导数
对函数$z=2{x}^{2}-8x+16$求导，得到$z'=4x-8$。
步骤 3：求导数为0的点
令$z'=4x-8=0$，解得$x=2$。
步骤 4：验证极值
将$x=2$代入原函数$z={x}^{2}+{(4-x)}^{2}$，得到$z=2^{2}+{(4-2)}^{2}=4+4=8$。因此，函数在点(2,2)取到极小值8。