简答题（共4题，40.0分）31.（10.0分）求函数f(x)=x^2+3x-2在区间[0,2]上的定积分。

考查要点：本题主要考查定积分的计算方法，特别是利用牛顿-莱布尼兹公式求解多项式函数在闭区间上的定积分。

解题核心思路：

1. 求原函数：对被积函数$f(x)=x^2+3x-2$的每一项分别积分，得到原函数$F(x)$。
2. 代入上下限：计算原函数在区间端点$x=2$和$x=0$处的值，即$F(2)$和$F(0)$。
3. 求差值：用$F(2)-F(0)$得到定积分的结果。

破题关键点：

• 正确积分：注意积分时各项系数的处理，尤其是分数形式。
• 代入计算：代入数值时需仔细运算，避免计算错误。

步骤1：求原函数
对$f(x)=x^2+3x-2$逐项积分：

• $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$
• $\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}$
• $\int (-2) \, dx = -2x$

因此，原函数为：
$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x$

步骤2：计算$F(2)$
将$x=2$代入原函数：
$\begin{aligned}F(2) &= \frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 \cdot 2 \\&= \frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 4 \\&= \frac{8}{3} + 6 - 4 \\&= \frac{8}{3} + 2 \\&= \frac{14}{3}\end{aligned}$

步骤3：计算$F(0)$
将$x=0$代入原函数：
$F(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} - 2 \cdot 0 = 0$

步骤4：求定积分
根据牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{14}{3} - 0 = \frac{14}{3}$