题目
lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(2)x)}^x
题目解答
答案
设
,x→
,则t→0
原式
,x→
,则t→0
原式
解析
步骤 1：变量替换
设 $t=-\dfrac {1}{2}x$，当 $x\rightarrow \infty$ 时，$t\rightarrow 0$。这样可以将原极限问题转化为关于 $t$ 的极限问题。
步骤 2：代入变量
将 $t=-\dfrac {1}{2}x$ 代入原式，得到 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+t)}^{-\dfrac {1}{2}t}$。
步骤 3：利用极限性质
利用极限的性质，将原式转化为 $\lim _{t\rightarrow 0}{[ {(1+t)}^{\dfrac {1}{t}}] }^{-\dfrac {1}{2}}$。
步骤 4：计算极限
根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow 0}{(1+t)}^{\dfrac {1}{t}}=e$，因此原式等于 $\dfrac {1}{\sqrt {e}}$。
设 $t=-\dfrac {1}{2}x$，当 $x\rightarrow \infty$ 时，$t\rightarrow 0$。这样可以将原极限问题转化为关于 $t$ 的极限问题。
步骤 2：代入变量
将 $t=-\dfrac {1}{2}x$ 代入原式，得到 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+t)}^{-\dfrac {1}{2}t}$。
步骤 3：利用极限性质
利用极限的性质，将原式转化为 $\lim _{t\rightarrow 0}{[ {(1+t)}^{\dfrac {1}{t}}] }^{-\dfrac {1}{2}}$。
步骤 4：计算极限
根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow 0}{(1+t)}^{\dfrac {1}{t}}=e$，因此原式等于 $\dfrac {1}{\sqrt {e}}$。