按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数：(1) 1234；(2) 4132；(3) 3421；(4) 2413；(5) 13...(2n-1)(2n)(2n-2)...2.

我们来逐个分析并计算每个排列的**逆序数**。 --- ### 什么是逆序数？ 在一个排列中，如果一对元素的**位置顺序**与**自然顺序**相反，即前面的数比后面的数大，这对元素就称为一个**逆序对**。整个排列中逆序对的总数称为该排列的**逆序数**。 --- ## (1) 排列：1234 这是自然顺序排列，没有逆序对。 ✅ **逆序数：0** --- ## (2) 排列：4132 我们逐个数找逆序对： - 4 在第1位，比它后面的 1、3、2 都大 → 有 3 个逆序对 - 1 在第2位，比它后面的 3、2 都小 → 0 个 - 3 在第3位，比它后面的 2 大 → 1 个 - 2 在第4位，后面没有元素 → 0 个 ✅ **逆序数：3 + 0 + 1 + 0 = 4** --- ## (3) 排列：3421 逐个分析： - 3 在第1位，比 4 小，但比 2、1 大 → 2 个逆序对 - 4 在第2位，比 2、1 大 → 2 个 - 2 在第3位，比 1 大 → 1 个 - 1 在第4位，没有后面元素 → 0 个 ✅ **逆序数：2 + 2 + 1 + 0 = 5** --- ## (4) 排列：2413 逐个分析： - 2 在第1位，比 4 小，比 1、3 大 → 2 个逆序对 - 4 在第2位，比 1、3 大 → 2 个 - 1 在第3位，比 3 小 → 0 个 - 3 在第4位，没有后面元素 → 0 个 ✅ **逆序数：2 + 2 + 0 + 0 = 4** --- ## (5) 排列：135…(2n−1)(2n)(2n−2)…2 这是一个特殊的排列，可以理解为： - 前半部分：所有**奇数**按从小到大排列，即：1, 3, 5, ..., (2n−1) - 后半部分：所有**偶数**按从大到小排列，即：2n, 2n−2, ..., 2 我们来分析这个排列的逆序数。 --- ### 总体结构： - 奇数部分：1, 3, 5, ..., (2n−1)（共 n 个） - 偶数部分：2n, 2n−2, ..., 2（共 n 个） 我们把排列写成： $$ 1,\ 3,\ 5,\ \cdots,\ (2n-1),\ 2n,\ 2n-2,\ \cdots,\ 2 $$ --- ### 分析逆序数： #### 第一部分：奇数之间的逆序 奇数部分是按自然顺序排列的，没有逆序。 ✅ **奇数内部逆序数：0** #### 第二部分：偶数之间的逆序 偶数部分是按从大到小排列的，即 2n, 2n−2, ..., 2 这是一个**降序排列**，所以它内部的逆序数等于它所有元素的组合数： 即从 n 个数中任选两个，大的在前，小的在后，构成一个逆序对。 组合数是： $$ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} $$ ✅ **偶数内部逆序数：$\frac{n(n-1)}{2}$** #### 第三部分：奇数与偶数之间的逆序 每个奇数都要和每个偶数比较。 - 奇数：1, 3, 5, ..., (2n−1) - 偶数：2n, 2n−2, ..., 2 我们来看：**每个奇数与多少个偶数构成逆序？** 比如： - 1 比 2n, 2n−2, ..., 2 都小 → 0 个逆序 - 3 比 2n, 2n−2, ..., 4 都小，但比 2 大 → 1 个 - 5 比 2n, 2n−2, ..., 6 都小，但比 4、2 大 → 2 个 - ... - (2k−1) 比 2k−2, ..., 2 大 → k−1 个 所以，第 k 个奇数与 k−1 个偶数构成逆序。 奇数有 n 个，所以： $$ \text{奇偶之间的逆序数} = 0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2} $$ ✅ **奇偶之间逆序数：$\frac{n(n-1)}{2}$** --- ### 总逆序数： $$ 0（奇数内部） + \frac{n(n-1)}{2}（偶数内部） + \frac{n(n-1)}{2}（奇偶之间） = n(n-1) $$ ✅ **逆序数：$n(n-1)$** --- ## 最终答案汇总： | 排列 | 逆序数 | |------|--------| | (1) 1234 | 0 | | (2) 4132 | 4 | | (3) 3421 | 5 | | (4) 2413 | 4 | | (5) $13\cdots(2n-1)(2n)(2n-2)\cdots2$ | $n(n-1)$ | ✅ **最终答案：** $$ \boxed{ \begin{aligned} &\text{(1) } 0 \\ &\text{(2) } 4 \\ &\text{(3) } 5 \\ &\text{(4) } 4 \\ &\text{(5) } n(n-1) \end{aligned} } $$