题目

(19)int(1+ln x)/((xln x)^2)dx;

(19)$\int\frac{1+\ln x}{(x\ln x)^{2}}dx;$

题目解答

答案

设 $u = x \ln x$，则 $du = (1 + \ln x) \, dx$。 原积分变为 \[ \int \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^2} \, dx = \int \frac{1}{u^2} \, du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x \ln x} + C. \] **答案：** \[ \boxed{-\frac{1}{x \ln x} + C} \]

解析

本题考查不定积分的换元法。解题思路是通过设一个合适的变量，将原积分转化为一个更简单的积分形式，然后进行计算。

  1. 设 $u = x \ln x\\)，对 \(u$ 求导，根据求导公式 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得 $du = (1 + \ln x) \, dx$。
  2. 将原积分 $\int\frac{1+\ln x}{(x\ln x)^{2}}dx$ 中的 $x \ln x$ 用 $u$ 替换，$(1 + \ln x) \, dx$ 用 $du$ 替换，得到 $\int \frac{1}{u^2} \, du$。
  3. 根据积分公式 $\int u^n du=\frac{u^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，对 $\int \frac{1}{u^2} \, du$ 进行计算，$\int \frac{1}{u^2} \, du=\int u^{-2} du=\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}+C=-\frac{1}{u}+C$。
  4. 最后将 $u = x \ln x$ 代回，得到 $-\frac{1}{x \ln x}+C$。