题目
19.计算题设Xsim U(0,1)，Y=e^X，求随机变量Y的概率密度函数.?
19.计算题
设$X\sim U(0,1)$，$Y=e^{X}$，求随机变量Y的概率密度函数.?
题目解答
答案
设 $ X \sim U(0,1) $，则 $ X $ 的概率密度函数为：
\[
f_X(x) =
\begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]
令 $ Y = e^X $，则 $ Y $ 的取值范围为 $[1, e]$。利用变量变换公式，设 $ y = e^x $，则 $ x = \ln y $，且 $ \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{y} $。因此，$ Y $ 的概率密度函数为：
\[
f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| =
\begin{cases}
1 \cdot \frac{1}{y}, & 1 \leq y \leq e \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]
即：
\[
\boxed{
\begin{cases}
\frac{1}{y}, & 1 \leq y \leq e \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：确定 $X$ 的概率密度函数
$X$ 是一个在区间 $[0,1]$ 上均匀分布的随机变量，因此其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：确定 $Y$ 的取值范围
由于 $Y = e^X$，且 $X$ 的取值范围是 $[0,1]$，因此 $Y$ 的取值范围是 $[e^0, e^1] = [1, e]$。
步骤 3：利用变量变换公式求 $Y$ 的概率密度函数
设 $y = e^x$，则 $x = \ln y$，且 $ \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{y} $。因此，$Y$ 的概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \begin{cases} 1 \cdot \frac{1}{y}, & 1 \leq y \leq e \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
$X$ 是一个在区间 $[0,1]$ 上均匀分布的随机变量，因此其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：确定 $Y$ 的取值范围
由于 $Y = e^X$，且 $X$ 的取值范围是 $[0,1]$，因此 $Y$ 的取值范围是 $[e^0, e^1] = [1, e]$。
步骤 3：利用变量变换公式求 $Y$ 的概率密度函数
设 $y = e^x$，则 $x = \ln y$，且 $ \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{y} $。因此，$Y$ 的概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \begin{cases} 1 \cdot \frac{1}{y}, & 1 \leq y \leq e \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]