设A,B都是n阶矩阵，且AB=0，则下列结论一定成立的是（）。 A. A=0或B=0； B. A,B都不可逆； C. A,B中至少有一个不可逆； D. A+B=0.
题目解答
答案
为了确定给定 $AB = 0$ 时哪个结论一定成立，其中 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，让我们逐步分析每个选项。 选项 A: $A = 0$ 或 $B = 0$ 这个选项表明 $A$ 或 $B$ 中至少有一个矩阵是零矩阵。然而，有可能 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵，但它们的乘积是零矩阵。例如，考虑以下矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 那么， $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ 因此，选项 A 并不一定成立。 选项 B: $A$ 和 $B$ 都不可逆 这个选项表明 $A$ 和 $B$ 都是奇异矩阵（不可逆）。然而，有可能 $A$ 或 $B$ 中的一个矩阵是可逆的，但它们的乘积仍然是零矩阵。例如，考虑以下矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 这里，$A$ 和 $B$ 都不是可逆的，但它们的乘积是零矩阵，如上所示。然而，我们也可以有： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 那么， $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ 这里，$A$ 是可逆的，但 $B$ 是不可逆的。因此，选项 B 并不一定成立。 选项 C: $A$ 和 $B$ 中至少有一个不可逆 这个选项表明 $A$ 或 $B$ 中至少有一个矩阵是奇异矩阵。如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆的，那么它们的乘积 $AB$ 也是可逆的。由于 $AB = 0$ 并且零矩阵是不可逆的，因此 $A$ 和 $B$ 中至少有一个必须是不可逆的。因此，选项 C 一定成立。 选项 D: $A^T B = 0$ 这个选项表明 $A$ 的转置与 $B$ 的乘积是零矩阵。然而，有可能 $A^T B \neq 0$ 即使 $AB = 0$。例如，考虑以下矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 那么， $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ 但， $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^T B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ 然而，考虑另一个例子： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ 那么， $AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ 但， $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^T B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ 因此，选项 D 并不一定成立。 因此，正确答案是 $\boxed{C}$。