题目

形状为椭球 (x)^2+(y)^2+4(z)^2leqslant 16 的空间探测器进入地球大气层,其表面开始受-|||-热,1小时后在探测器的点(x,y,z)处的温度 =8(x)^2+4yz-16z+600, 求探测器表面-|||-最热的点.


题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件极值问题的求解方法，即在椭球面约束下寻找温度函数的最大值点。核心思路是使用拉格朗日乘数法，通过构造拉格朗日函数，联立方程求解可能的极值点，再比较各点温度确定最热点。

关键点：

  1. 拉格朗日乘数法的应用：将温度函数与椭球面约束结合，构造拉格朗日函数。
  2. 分类讨论：根据偏导数方程的解，分情况讨论可能的极值点。
  3. 代入验证：将解代入约束条件，筛选出有效解，并计算对应温度比较大小。

构造拉格朗日函数

目标函数为温度 $T=8x^2 +4yz -16z +600$，约束条件为椭球面 $4x^2 + y^2 +4z^2 =16$。构造拉格朗日函数：
$L = 8x^2 +4yz -16z +600 + \lambda(4x^2 + y^2 +4z^2 -16)$

求偏导并建立方程组

对 $x, y, z$ 求偏导并令其为零：

  1. $\frac{\partial L}{\partial x} = 16x + 8\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(16 + 8\lambda) = 0$
  2. $\frac{\partial L}{\partial y} = 4z + 2\lambda y = 0$
  3. $\frac{\partial L}{\partial z} = 4y -16 + 8\lambda z = 0$
  4. 约束条件：$4x^2 + y^2 +4z^2 =16$

分情况讨论

情况一：$x=0$

此时约束条件变为 $y^2 +4z^2 =16$。联立方程：

  • 由 $\frac{\partial L}{\partial y}$ 得 $4z + 2\lambda y =0 \quad \Rightarrow \quad z = -\frac{\lambda y}{2}$
  • 代入 $\frac{\partial L}{\partial z}$ 得 $4y -16 +8\lambda z =0 \quad \Rightarrow \quad y =4 -2\lambda z$

解得 $\lambda =0, \pm\sqrt{3}$，对应点：

  • $\lambda=0$：$(0,4,0)$，$T=600$
  • $\lambda=\sqrt{3}$：$(0,-2,\sqrt{3})$，$T \approx 558.43$
  • $\lambda=-\sqrt{3}$：$(0,-2,-\sqrt{3})$，$T \approx 641.57$

情况二：$\lambda = -2$

此时 $x \neq 0$，联立方程：

  • 由 $\frac{\partial L}{\partial y}$ 得 $z = y$
  • 代入 $\frac{\partial L}{\partial z}$ 得 $y = -\frac{4}{3}$，$z = -\frac{4}{3}$
  • 代入约束条件得 $x = \pm\frac{4}{3}$，对应点：
    • $(\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3})$，$T = \frac{1928}{3} \approx 642.67$
    • $(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3})$，$T = \frac{1928}{3} \approx 642.67$

比较温度

最热点为温度最大的两个点：$(\pm\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3})$，温度均为 $\frac{1928}{3}$。