题目

下列矩阵为正定矩阵的是（）1 2 0 0-|||-2-|||-2 3 0 0-|||-3-|||-0 0 21 2 0 0-|||-2-|||-2 3 0 0-|||-3-|||-0 0 21 2 0 0-|||-2-|||-2 3 0 0-|||-3-|||-0 0 21 2 0 0-|||-2-|||-2 3 0 0-|||-3-|||-0 0 2

下列矩阵为正定矩阵的是（）

$A：\begin{pmatrix} 1& 2&0 \\ 2& 3 & 0\\ 0 & 0 &2 \end{pmatrix}$

$B：\begin{pmatrix} 1& 2&0 \\ 2& 4 & 0\\ 0 & 0 &2 \end{pmatrix}$

$C：\begin{pmatrix} 1& -2&0 \\ -2& 5 & 0\\ 0 & 0 &-2 \end{pmatrix}$

$D：\begin{pmatrix} 2& 0&0 \\ 0&1 &2\\ 0 & 2&5 \end{pmatrix}$

题目解答

解：

矩阵的全部顺序主子式均大于0时，矩阵为正定矩阵

设 $A=\begin{pmatrix} 1& 2&0 \\ 2& 3 & 0\\ 0 & 0 &2 \end{pmatrix}，B=\begin{pmatrix} 1& 2&0 \\ 2& 4 & 0\\ 0 & 0 &2 \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} 1& -2&0 \\ -2& 5 & 0\\ 0 & 0 &-2 \end{pmatrix}，D=\begin{pmatrix} 2& 0&0 \\ 0&1 &2\\ 0 & 2&5 \end{pmatrix}$

对于A， $\begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{vmatrix}=3-4<0$

所以A不是正定矩阵；

对于B， $\begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{vmatrix}=4-4=0$

所以B不是正定矩阵；

对于C， $\begin{vmatrix} 1&-2 \\ -2&5 \end{vmatrix}=5-4>0$

$\begin{vmatrix} 1& -2&0 \\ -2& 5&0 \\ 0& 0 &-2 \end{vmatrix}=(-1)^{3+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1&-2 \\ -2&5 \end{vmatrix}=-2<0$

所以C不是正定矩阵；

而对于D， $\begin{vmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=2>0$

$\begin{vmatrix} 2& 0&0 \\ 0& 1&2\\ 0& 2 &5 \end{vmatrix}=(-1)^{1+1} \times2 \times \begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&5 \end{vmatrix}=2>0$

所以D为正定矩阵。

因此，此题选D。

正定矩阵的判定核心在于验证所有顺序主子式是否均大于0。顺序主子式是指矩阵左上角各阶子行列式（1阶、2阶、...、n阶）。解题时需依次计算各选项的顺序主子式，若存在任意一个子式≤0，则该矩阵非正定。

选项A

一阶主子式：$1 > 0$
二阶主子式：$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = -1 < 0$
结论：二阶主子式不满足，排除A。

选项B

选项C

一阶主子式：$1 > 0$
二阶主子式：$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - (-2) \cdot (-2) = 1 > 0$
三阶主子式：$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = -2 < 0$
结论：三阶主子式不满足，排除C。

选项D

一阶主子式：$2 > 0$
二阶主子式：$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1) = 5 > 0$
三阶主子式：$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 8 > 0$
结论：所有顺序主子式均>0，D为正定矩阵。