求下列微分方程的通解: '+y=(x)^2+3x+2;

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，需要掌握标准形式的转化、积分因子的计算以及积分求解的步骤。

解题核心思路：

1. 整理方程：将原方程改写为标准形式$y' + P(x)y = Q(x)$；
2. 计算积分因子：$\mu(x) = \exp\left(\int P(x) \, dx\right)$；
3. 方程两边同乘积分因子，将方程转化为全微分形式；
4. 积分求解，得到通解。

破题关键点：

• 正确识别方程类型，确认为一阶线性微分方程；
• 准确计算积分因子，注意积分时的变量处理；
• 积分过程中对多项式项的逐项积分。

将原方程$xy' + y = x^2 + 3x + 2$整理为标准形式：
$y' + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$

步骤1：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = \exp\left(\int \frac{1}{x} \, dx\right) = \exp(\ln|x|) = x$

步骤2：方程两边同乘积分因子
原方程变为：
$x \cdot y' + y = x^2 + 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx}(x y) = x^2 + 3x + 2$

步骤3：积分求解
对等式两边积分：
$x y = \int (x^2 + 3x + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$

步骤4：整理通解
两边除以$x$：
$y = \frac{1}{x}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C\right) = \frac{x^2}{3} + \frac{3x}{2} + 2 + \frac{C}{x}$