3.已知线性变换 ) (x)_(1)=2(y)_(1)+2(y)_(2)+(y)_(3) (x)_(2)=3(y)_(1)+(y)_(2)+5(y)_(3) (x)_(3)=3(y)_(1)+2(y)_(2)+3(y) . ,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y 2,y3的线性-|||-变换.

步骤 1：写出线性变换的矩阵形式
给定的线性变换可以表示为矩阵方程：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 5 \\
3 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求逆矩阵
为了从变量$x_1, x_2, x_3$到变量$y_1, y_2, y_3$的线性变换，我们需要求出上述矩阵的逆矩阵。首先，我们计算矩阵的行列式：
$$
\text{det} \begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 5 \\
3 & 2 & 3
\end{pmatrix}
= 2(1 \cdot 3 - 5 \cdot 2) - 2(3 \cdot 3 - 5 \cdot 3) + 1(3 \cdot 2 - 1 \cdot 3)
= 2(-7) - 2(-6) + 1(3)
= -14 + 12 + 3
= 1
$$
由于行列式不为零，矩阵可逆。接下来，我们计算逆矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 5 \\
3 & 2 & 3
\end{pmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{1}
\begin{pmatrix}
-7 & 6 & 3 \\
4 & -3 & -2 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-7 & 6 & 3 \\
4 & -3 & -2 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：写出逆变换的矩阵形式
逆变换的矩阵形式为：
$$
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-7 & 6 & 3 \\
4 & -3 & -2 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
$$