题目
计算题（6.0分）4.设z=arctan(xy),y=e^x,求导数(dz)/(dx).
计算题（6.0分）
4.设$z=\arctan(xy),y=e^{x},$求导数$\frac{dz}{dx}.$
题目解答
答案
为了求导数$\frac{dz}{dx}$，其中$z = \arctan(xy)$且$y = e^x$，我们将使用链式法则和隐函数求导。让我们一步步进行。
1. **将$y = e^x$代入$z = \arctan(xy)$:**
\[
z = \arctan(xe^x)
\]
2. **对$z$关于$x$求导:**
设$u = xe^x$。那么$z = \arctan(u)$。使用链式法则，我们有:
\[
\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\]
首先，求$\frac{dz}{du}$:
\[
\frac{dz}{du} = \frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^2}
\]
接下来，求$\frac{du}{dx}$:
\[
u = xe^x \implies \frac{du}{dx} = e^x + xe^x = e^x(1 + x)
\]
现在，将$\frac{dz}{du}$和$\frac{du}{dx}$代回链式法则:
\[
\frac{dz}{dx} = \frac{1}{1 + (xe^x)^2} \cdot e^x(1 + x) = \frac{e^x(1 + x)}{1 + x^2e^{2x}}
\]
因此，导数$\frac{dz}{dx}$是:
\[
\boxed{\frac{e^x(1 + x)}{1 + x^2e^{2x}}}
\]
解析
步骤 1：代入$y=e^x$
将$y=e^x$代入$z=\arctan(xy)$，得到$z=\arctan(xe^x)$。
步骤 2：求$\frac{dz}{dx}$
设$u=xe^x$，则$z=\arctan(u)$。根据链式法则，我们有$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
首先，求$\frac{dz}{du}$：$\frac{dz}{du}=\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^2}$。
接下来，求$\frac{du}{dx}$：$u=xe^x$，则$\frac{du}{dx}=e^x+xe^x=e^x(1+x)$。
最后，将$\frac{dz}{du}$和$\frac{du}{dx}$代回链式法则：$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{1+(xe^x)^2}\cdot e^x(1+x)=\frac{e^x(1+x)}{1+x^2e^{2x}}$。
将$y=e^x$代入$z=\arctan(xy)$，得到$z=\arctan(xe^x)$。
步骤 2：求$\frac{dz}{dx}$
设$u=xe^x$，则$z=\arctan(u)$。根据链式法则，我们有$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
首先，求$\frac{dz}{du}$：$\frac{dz}{du}=\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^2}$。
接下来，求$\frac{du}{dx}$：$u=xe^x$，则$\frac{du}{dx}=e^x+xe^x=e^x(1+x)$。
最后，将$\frac{dz}{du}$和$\frac{du}{dx}$代回链式法则：$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{1+(xe^x)^2}\cdot e^x(1+x)=\frac{e^x(1+x)}{1+x^2e^{2x}}$。