设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A. B. 1 C. 2 D. 3

本题考查实对称矩阵的性质以及齐次线性方程组基础解系所含解向量个数的计算。解题的关键在于利用实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交这一性质，结合已知的特征值来确定基础解系所含解向量的个数。

1. 首先明确基础解系所含解向量个数的计算公式：
   • 对于齐次线性方程组$(E - A)x = 0$，基础解系所含解向量的个数等于$n-\text{rank}(E - A)$，其中$n$是矩阵$A$的阶数，$\text{rank}(E - A)$是矩阵$E - A$的秩。
   • 已知$A$是$3$阶矩阵，即$n = 3$，所以基础解系所含解向量的个数为$3-\text{rank}(E - A)$。
2. 然后根据特征值与矩阵秩的关系：
   • 矩阵$A$的特征值$\lambda$满足$\vert\lambda E - A\vert = 0$。对于$\lambda = 1$，有$\vert E - A\vert = 0$，这说明$1$是矩阵$A$的特征值，且$\text{rank}(E - A)\lt3$。
   • 又因为$A$是实对称矩阵，实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。已知$A$的特征值为$0$，$1$，$1$，属于特征值$1$的线性无关的特征向量有$2$个（因为特征值$1$的重数为$2$）。
   • 根据实对称矩阵的性质，$n-\text{rank}(E - A)$等于特征值$1$对应的线性无关特征向量的个数。
   • 所以$3-\text{rank}(E - A)=2$，即齐次线性方程组$(E - A)x = 0$的基础解系所含解向量的个数为$2$。