题目

填空题 10分设EX=3，DX=5，DY=4，且X与Y相互独立，则(1)D(2X-Y)= [填空1]；(1)E(X+2)^2=[填空2].

填空题 10分 设EX=3，DX=5，DY=4，且X与Y相互独立，则 (1)D(2X-Y)= [填空1]；(1)$E(X+2)^{2}$=[填空2].

题目解答

答案

(1) **计算 $D(2X - Y)$** 利用方差性质： \[ D(2X - Y) = 4DX + DY = 4 \times 5 + 4 = 24 \] (2) **计算 $E(X + 2)^2$** 展开并利用期望线性性质： \[ E(X + 2)^2 = EX^2 + 4EX + 4 \] 由方差定义求 $EX^2$： \[ EX^2 = DX + (EX)^2 = 5 + 9 = 14 \] 代入得： \[ E(X + 2)^2 = 14 + 4 \times 3 + 4 = 30 \] **答案：** (1) $24$ (2) $30$

解析

考查要点：本题主要考查方差的性质和期望的计算，涉及随机变量的线性变换、独立变量的方差运算，以及利用方差定义展开平方期望。

解题核心思路：

  1. 方差的线性性质：对于独立随机变量，方差可加且系数平方作用；
  2. 期望的展开与计算：利用平方展开公式结合方差定义求解高阶矩。

破题关键点：

  • 独立变量方差运算：$D(aX \pm bY) = a^2DX + b^2DY$；
  • 方差与期望的关系：$EX^2 = DX + (EX)^2$。

第（1）题：计算 $D(2X - Y)$

应用方差性质

由于 $X$ 与 $Y$ 独立，方差可加且系数平方作用：
$D(2X - Y) = D(2X) + D(-Y) = 2^2DX + (-1)^2DY = 4 \times 5 + 4 = 24.$

第（2）题：计算 $E(X + 2)^2$

展开平方项

$E(X + 2)^2 = E(X^2 + 4X + 4) = EX^2 + 4EX + 4.$

利用方差定义求 $EX^2$

由方差公式 $DX = EX^2 - (EX)^2$，得：
$EX^2 = DX + (EX)^2 = 5 + 3^2 = 14.$

代入计算

$E(X + 2)^2 = 14 + 4 \times 3 + 4 = 14 + 12 + 4 = 30.$