抛掷一枚均匀的硬币，直到掷出正面为止，则抛掷次数X的概率分布为（ ）A.(X=k)=(0.5)^k，k=0,1,2,3,···B.(X=k)=(0.5)^kC.(X=k)=(0.5)^k，k=1,2,3,···D.(X=k)=(0.5)^k，k=1,2,3,···

考查要点：本题主要考查几何分布的概率公式及其应用，需要明确试验次数的取值范围和概率计算方式。

解题核心思路：
抛硬币直到出现正面为止，属于几何分布问题。几何分布描述的是在独立重复试验中，某事件第一次成功所需的试验次数的概率分布。其公式为：
$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$
其中，$p$ 是单次试验成功的概率，$k$ 是试验次数（$k=1,2,3,\dots$）。

破题关键点：

1. 确定成功概率：硬币均匀，正面概率 $p=0.5$。
2. 理解试验次数含义：第 $k$ 次才首次成功，意味着前 $k-1$ 次均失败，第 $k$ 次成功。
3. 排除错误选项：注意选项中 $k$ 的取值范围是否合理（如 $k=0$ 的情况），以及公式中指数部分是否正确。

几何分布公式的推导

根据几何分布的定义，第 $k$ 次首次成功概率为：
$P(X=k) = (1-p)^{k-1} \cdot p$
代入 $p=0.5$，得：
$P(X=k) = (0.5)^{k-1} \cdot 0.5 = (0.5)^k$
其中，$k=1,2,3,\dots$（试验次数至少为1次）。

选项分析

• 选项A：$P(X=k)=0.5^k$，$k=0,1,2,\dots$
  错误。$k=0$ 无实际意义（未进行试验），取值范围应从1开始。
• 选项B：$P(X=k)=0.5^k$，未明确 $k$ 的范围。
  错误。未限定 $k \geq 1$，可能导致误解包含 $k=0$ 的情况。
• 选项C：$P(X=k)=0.5^k$，$k=1,2,3,\dots$
  正确。公式和取值范围均符合几何分布定义。
• 选项D：$P(X=k)=0.5^{k-1}$，$k=1,2,3,\dots$
  错误。公式缺少第 $k$ 次成功的概率因子 $0.5$，实际应为 $0.5^k$。