题目
4.求过直线 { x+y+2z=4 . 在点 (1,--|||-1,2)处的切线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线在点 (1, -1, 2) 处的切线方向
曲线由两个方程定义：$x^2 + y^2 = \frac{z^2}{2}$ 和 $x + y + 2z = 4$。为了找到曲线在点 (1, -1, 2) 处的切线方向，我们需要计算这两个方程在该点的梯度，并取它们的叉积。
步骤 2：计算梯度
对于方程 $x^2 + y^2 = \frac{z^2}{2}$，梯度为 $\nabla F_1 = (2x, 2y, -z)$。在点 (1, -1, 2) 处，梯度为 $\nabla F_1 = (2, -2, -2)$。
对于方程 $x + y + 2z = 4$，梯度为 $\nabla F_2 = (1, 1, 2)$。在点 (1, -1, 2) 处，梯度为 $\nabla F_2 = (1, 1, 2)$。
步骤 3：计算叉积
叉积 $\nabla F_1 \times \nabla F_2 = (2, -2, -2) \times (1, 1, 2) = (6, -6, 4)$。因此，曲线在点 (1, -1, 2) 处的切线方向为 $(6, -6, 4)$。
步骤 4：确定平面方程
平面需要通过直线 $\left \{ \begin{matrix} x+2y+z=1\\ x-y-2z=-3\end{matrix} \right.$，并且平行于切线方向 $(6, -6, 4)$。因此，平面的法向量为 $(6, -6, 4)$。在直线上取一点 $(1/3, 0, 4/3)$，则平面方程为 $6(x - 1/3) - 6(y - 0) + 4(z - 4/3) = 0$，化简得 $6x - 6y + 4z = 17$。
曲线由两个方程定义：$x^2 + y^2 = \frac{z^2}{2}$ 和 $x + y + 2z = 4$。为了找到曲线在点 (1, -1, 2) 处的切线方向，我们需要计算这两个方程在该点的梯度，并取它们的叉积。
步骤 2：计算梯度
对于方程 $x^2 + y^2 = \frac{z^2}{2}$，梯度为 $\nabla F_1 = (2x, 2y, -z)$。在点 (1, -1, 2) 处，梯度为 $\nabla F_1 = (2, -2, -2)$。
对于方程 $x + y + 2z = 4$，梯度为 $\nabla F_2 = (1, 1, 2)$。在点 (1, -1, 2) 处，梯度为 $\nabla F_2 = (1, 1, 2)$。
步骤 3：计算叉积
叉积 $\nabla F_1 \times \nabla F_2 = (2, -2, -2) \times (1, 1, 2) = (6, -6, 4)$。因此，曲线在点 (1, -1, 2) 处的切线方向为 $(6, -6, 4)$。
步骤 4：确定平面方程
平面需要通过直线 $\left \{ \begin{matrix} x+2y+z=1\\ x-y-2z=-3\end{matrix} \right.$，并且平行于切线方向 $(6, -6, 4)$。因此，平面的法向量为 $(6, -6, 4)$。在直线上取一点 $(1/3, 0, 4/3)$，则平面方程为 $6(x - 1/3) - 6(y - 0) + 4(z - 4/3) = 0$，化简得 $6x - 6y + 4z = 17$。