题目
设 X 在 (1,6) 内服从均匀分布，则方程 x^2 + Xx + 1 = 0 有实根的概率为__。A. 0B. 0.2C. 0.4D. 0.8
设 $X$ 在 $(1,6)$ 内服从均匀分布，则方程 $x^2 + Xx + 1 = 0$ 有实根的概率为__。
A. 0
B. 0.2
C. 0.4
D. 0.8
题目解答
答案
D. 0.8
解析
步骤 1：确定方程有实根的条件
方程 $x^2 + Xx + 1 = 0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta = X^2 - 4 \geq 0$，即 $X^2 \geq 4$。
步骤 2：求解不等式
解不等式 $X^2 \geq 4$，得到 $|X| \geq 2$。由于 $X$ 在 $(1,6)$ 内，所以 $X \geq 2$。
步骤 3：计算概率
$X$ 在 $(1,6)$ 内服从均匀分布，所以 $X \geq 2$ 的概率是区间 $[2,6)$ 上概率密度函数的积分，即 $P(X \geq 2) = \int_{2}^{6} \frac{1}{5} \, dx = \frac{4}{5} = 0.8$。
方程 $x^2 + Xx + 1 = 0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta = X^2 - 4 \geq 0$，即 $X^2 \geq 4$。
步骤 2：求解不等式
解不等式 $X^2 \geq 4$，得到 $|X| \geq 2$。由于 $X$ 在 $(1,6)$ 内，所以 $X \geq 2$。
步骤 3：计算概率
$X$ 在 $(1,6)$ 内服从均匀分布，所以 $X \geq 2$ 的概率是区间 $[2,6)$ 上概率密度函数的积分，即 $P(X \geq 2) = \int_{2}^{6} \frac{1}{5} \, dx = \frac{4}{5} = 0.8$。