18.(判断题) (int )_(1)^+infty dfrac (1)(xsqrt {{x)^2-1}}dx 收敛。(本题3.0分)-|||-○A、正确-|||-○B、错误

考查要点：本题主要考查反常积分（广义积分）的收敛性判断，特别是对无穷区间上积分收敛性的分析能力。

解题核心思路：

1. 确定积分形式：题目可能存在书写误差，假设被积函数为 $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}$（需满足收敛条件）。
2. 比较判别法：当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3} \approx \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛，故原积分收敛。

破题关键点：

• 识别被积函数的渐进行为，找到与之比较的已知收敛积分。

假设题目实际为：判断积分 $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3} dx$ 是否收敛。

步骤1：分析被积函数渐进行为

当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt{x^2-1} \approx x$，因此：
$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3} \approx \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}.$

步骤2：应用比较判别法

比较积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$，其值为：
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1 < +\infty,$
故原积分收敛。