题目
5.设级数 sum _(n=0)^infty (a)_(n)((x-1))^n 的收敛半径是1,则级数在点 x=3 处 ()-|||-A.发散 B.条件收敛-|||-C.绝对收敛 D.不能确定敛散性
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，以及如何根据收敛半径判断特定点的收敛性。
解题核心思路：
- 收敛半径的定义：幂级数 $\sum a_n(x-a)^n$ 的收敛半径为 $R$，则其收敛区间为 $(a-R, a+R)$。
- 收敛性判断：
- 在收敛区间内（$|x-a| < R$），级数绝对收敛；
- 在收敛区间外（$|x-a| > R$），级数发散；
- 端点（$|x-a| = R$）需单独判断。
破题关键：
题目中给出收敛半径 $R=1$，中心 $a=1$，因此收敛区间为 $(0,2)$。当 $x=3$ 时，$|x-1|=2 > R=1$，直接判定为发散。
-
确定收敛区间：
幂级数 $\sum a_n(x-1)^n$ 的收敛半径为 $1$，因此收敛区间为 $|x-1| < 1$，即 $0 < x < 2$。 -
判断 $x=3$ 的位置：
计算 $|x-1| = |3-1| = 2$，显然 $2 > 1$，即 $x=3$ 位于收敛区间外。 -
结论：
根据幂级数的性质，在收敛区间外的点，级数发散，因此答案为 A。