题目
[题目]设F(x)是f(x)的一个原函数,且 (0)=1,-|||-(x)f(x)=cos 2x, 则 (int )_(0)^pi |f(x)|dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定F(x)与f(x)的关系
由于F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x) = f(x)。根据题目条件，我们有F(x)f(x) = cos(2x)。
步骤 2：求解F(x)的表达式
由F(x)f(x) = cos(2x)和F'(x) = f(x)，可以得到F(x)F'(x) = cos(2x)。对等式两边积分，得到$\int F(x)dF(x) = \int \cos(2x)dx$。左边积分得到$\frac{1}{2}F^2(x) + C_1$，右边积分得到$\frac{1}{2}\sin(2x) + C_2$。因此，$\frac{1}{2}F^2(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$，其中C = C_2 - C_1。由F(0) = 1，可以求得C = 1/2。所以，$F^2(x) = \sin(2x) + 1$。由于F(x)是f(x)的原函数，且F(0) = 1，我们取F(x) = $\sqrt{\sin(2x) + 1}$。
步骤 3：求解f(x)的表达式
由F(x) = $\sqrt{\sin(2x) + 1}$，可以得到f(x) = F'(x) = $\frac{1}{2}(\sin(2x) + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2\cos(2x)$ = $\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}$。
步骤 4：求解${\int }_{0}^{\pi }|f(x)|dx$
由于f(x) = $\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}$，我们需要求解${\int }_{0}^{\pi }|\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}|dx$。注意到$\cos(2x)$在$[0, \frac{\pi}{2}]$区间内非负，在$[\frac{\pi}{2}, \pi]$区间内非正。因此，${\int }_{0}^{\pi }|\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}|dx$ = ${\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}dx$ - ${\int }_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}dx$。通过换元法，令$u = \sin(2x) + 1$，可以求得${\int }_{0}^{\pi }|\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}|dx = 2\sqrt{2}$。
由于F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x) = f(x)。根据题目条件，我们有F(x)f(x) = cos(2x)。
步骤 2：求解F(x)的表达式
由F(x)f(x) = cos(2x)和F'(x) = f(x)，可以得到F(x)F'(x) = cos(2x)。对等式两边积分，得到$\int F(x)dF(x) = \int \cos(2x)dx$。左边积分得到$\frac{1}{2}F^2(x) + C_1$，右边积分得到$\frac{1}{2}\sin(2x) + C_2$。因此，$\frac{1}{2}F^2(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$，其中C = C_2 - C_1。由F(0) = 1，可以求得C = 1/2。所以，$F^2(x) = \sin(2x) + 1$。由于F(x)是f(x)的原函数，且F(0) = 1，我们取F(x) = $\sqrt{\sin(2x) + 1}$。
步骤 3：求解f(x)的表达式
由F(x) = $\sqrt{\sin(2x) + 1}$，可以得到f(x) = F'(x) = $\frac{1}{2}(\sin(2x) + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2\cos(2x)$ = $\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}$。
步骤 4：求解${\int }_{0}^{\pi }|f(x)|dx$
由于f(x) = $\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}$，我们需要求解${\int }_{0}^{\pi }|\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}|dx$。注意到$\cos(2x)$在$[0, \frac{\pi}{2}]$区间内非负，在$[\frac{\pi}{2}, \pi]$区间内非正。因此，${\int }_{0}^{\pi }|\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}|dx$ = ${\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}dx$ - ${\int }_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}dx$。通过换元法，令$u = \sin(2x) + 1$，可以求得${\int }_{0}^{\pi }|\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\sin(2x) + 1}}|dx = 2\sqrt{2}$。