题目
已知已知某批产品96%是合格品，用其中检验方法检验，是废品而误认为是合格品的概率为2%，是合格品而确认为是合格品的概率为95%，现用这种方法检验一件产品为合格品，问这件产品确为合格品的概率为____.(最后结果保留四位小数)
已知已知某批产品96%是合格品，用其中检验方法检验，是废品而误认为是合格品的概率为2%，是合格品而确认为是合格品的概率为95%，现用这种方法检验一件产品为合格品，问这件产品确为合格品的概率为____.(最后结果保留四位小数)
题目解答
答案
设事件 $ A $ 表示产品为合格品，事件 $ B $ 表示检测结果为合格品。已知：
- $ P(A) = 0.96 $，$ P(\overline{A}) = 0.04 $
- $ P(B|\overline{A}) = 0.02 $，$ P(B|A) = 0.95 $
由全概率公式计算 $ P(B) $：
\[
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = 0.95 \times 0.96 + 0.02 \times 0.04 = 0.912 + 0.0008 = 0.9128
\]
根据贝叶斯定理计算 $ P(A|B) $：
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{0.95 \times 0.96}{0.9128} \approx 0.9980
\]
**答案：** $\boxed{0.9980}$
解析
考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式进行计算。
解题核心思路：
- 明确事件定义：设合格品为事件$A$，检测结果为合格品为事件$B$。
- 全概率公式计算检测结果为合格品的总概率$P(B)$。
- 贝叶斯定理反推已知检测结果为合格品时，产品确实合格的概率$P(A|B)$。
破题关键点：
- 正确理解题目中条件概率的含义，区分$P(B|A)$和$P(B|\overline{A})$。
- 注意单位概率的计算，如$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。
事件定义：
- $A$：产品为合格品，$P(A) = 0.96$，$P(\overline{A}) = 0.04$。
- $B$：检测结果为合格品，已知$P(B|A) = 0.95$，$P(B|\overline{A}) = 0.02$。
步骤1：计算检测结果为合格品的总概率$P(B)$
根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B) &= P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) \\&= 0.95 \times 0.96 + 0.02 \times 0.04 \\&= 0.912 + 0.0008 \\&= 0.9128\end{aligned}$
步骤2：应用贝叶斯定理计算$P(A|B)$
$\begin{aligned}P(A|B) &= \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \\&= \frac{0.95 \times 0.96}{0.9128} \\&\approx \frac{0.912}{0.9128} \\&\approx 0.9980\end{aligned}$