题目

分解因式：(1) x + xy;(2) -2x + 3x^2;(3) a^2b + 5ab - b;(4) 2mn - n^2 + 8n.综合运用利用因式分解计算：(1) 999^2 + 999;(2) 17 times 0.11 + 37 times 0.11 - 46 times 0.11.分解因式：(1) 2mn^2 + mn;(2) 6xy^2 - 8x^2y^3;(3) 6a^2b + 9ab^2 - 15ab;(4) 3m^2n - 3mn + 6n;(5) 4x^2y^3 + 8x^3y^2 + 12x^4y;(6) 2m(x-y) - 3n(x-y);(7) 2a(a-b)^2 - (a-b)^3;(8) x^2(3y-6) + x(6-3y).先分解因式，再求值：(1) (a-2)^2 - 6(2-a)，其中 a = -2;(2) 4x(y+4) - x(y+4)^2，其中 x = 2，y = 5.

分解因式： (1) $x + xy$; (2) $-2x + 3x^2$; (3) $a^2b + 5ab - b$; (4) $2mn - n^2 + 8n$. 综合运用 利用因式分解计算： (1) $999^2 + 999$; (2) $17 \times 0.11 + 37 \times 0.11 - 46 \times 0.11$. 分解因式： (1) $2mn^2 + mn$; (2) $6xy^2 - 8x^2y^3$; (3) $6a^2b + 9ab^2 - 15ab$; (4) $3m^2n - 3mn + 6n$; (5) $4x^2y^3 + 8x^3y^2 + 12x^4y$; (6) $2m(x-y) - 3n(x-y)$; (7) $2a(a-b)^2 - (a-b)^3$; (8) $x^2(3y-6) + x(6-3y)$. 先分解因式，再求值： (1) $(a-2)^2 - 6(2-a)$，其中 $a = -2$; (2) $4x(y+4) - x(y+4)^2$，其中 $x = 2$，$y = 5$.

题目解答

答案

我们逐题分析并解答这些因式分解和相关计算问题。 --- ## **第一部分：分解因式** ### **(1) $x + xy$** **分析：** 两个项都有公共因子 $x$。 **解：** $$ x + xy = x(1 + y) $$ --- ### **(2) $-2x + 3x^2$** **分析：** 两个项都有公共因子 $x$，注意符号。 **解：** $$ -2x + 3x^2 = x(-2 + 3x) = x(3x - 2) $$ --- ### **(3) $a^2b + 5ab - b$** **分析：** 三个项都有公共因子 $b$。 **解：** $$ a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a - 1) $$ --- ### **(4) $2mn - n^2 + 8n$** **分析：** 所有项都有公共因子 $n$。 **解：** $$ 2mn - n^2 + 8n = n(2m - n + 8) $$ --- ## **第二部分：综合运用** ### **(1) $999^2 + 999$** **分析：** 观察到可以提取公共因子 $999$。 **解：** $$ 999^2 + 999 = 999(999 + 1) = 999 \times 1000 = 999000 $$ --- ### **(2) $17 \times 0.11 + 37 \times 0.11 - 46 \times 0.11$** **分析：** 所有项都有公共因子 $0.11$。 **解：** $$ 17 \times 0.11 + 37 \times 0.11 - 46 \times 0.11 = 0.11(17 + 37 - 46) = 0.11 \times 8 = 0.88 $$ --- ## **第三部分：分解因式** ### **(1) $2mn^2 + mn$** **分析：** 公共因子是 $mn$。 **解：** $$ 2mn^2 + mn = mn(2n + 1) $$ --- ### **(2) $6xy^2 - 8x^2y^3$** **分析：** 公共因子是 $2xy^2$。 **解：** $$ 6xy^2 - 8x^2y^3 = 2xy^2(3 - 4xy) $$ --- ### **(3) $6a^2b + 9ab^2 - 15ab$** **分析：** 公共因子是 $3ab$。 **解：** $$ 6a^2b + 9ab^2 - 15ab = 3ab(2a + 3b - 5) $$ --- ### **(4) $3m^2n - 3mn + 6n$** **分析：** 公共因子是 $3n$。 **解：** $$ 3m^2n - 3mn + 6n = 3n(m^2 - m + 2) $$ --- ### **(5) $4x^2y^3 + 8x^3y^2 + 12x^4y$** **分析：** 公共因子是 $4x^2y$。 **解：** $$ 4x^2y^3 + 8x^3y^2 + 12x^4y = 4x^2y(y^2 + 2xy + 3x^2) $$ --- ### **(6) $2m(x-y) - 3n(x-y)$** **分析：** 公共因子是 $(x - y)$。 **解：** $$ 2m(x-y) - 3n(x-y) = (x - y)(2m - 3n) $$ --- ### **(7) $2a(a-b)^2 - (a-b)^3$** **分析：** 公共因子是 $(a - b)^2$。 **解：** $$ 2a(a-b)^2 - (a-b)^3 = (a - b)^2(2a - (a - b)) = (a - b)^2(a + b) $$ --- ### **(8) $x^2(3y-6) + x(6-3y)$** **分析：** 注意 $6 - 3y = - (3y - 6)$，所以可以提取公共因子。 **解：** $$ x^2(3y - 6) + x(6 - 3y) = x^2(3y - 6) - x(3y - 6) = (3y - 6)(x^2 - x) = 3(y - 2)x(x - 1) $$ --- ## **第四部分：先分解因式，再求值** ### **(1) $(a-2)^2 - 6(2-a)$，其中 $a = -2$** **分析：** 先分解因式。 $$ (a - 2)^2 - 6(2 - a) = (a - 2)^2 + 6(a - 2) = (a - 2)(a - 2 + 6) = (a - 2)(a + 4) $$ **代入 $a = -2$：** $$ (-2 - 2)(-2 + 4) = (-4)(2) = -8 $$ --- ### **(2) $4x(y+4) - x(y+4)^2$，其中 $x = 2$，$y = 5$** **分析：** 提取公共因子 $x(y + 4)$。 $$ 4x(y + 4) - x(y + 4)^2 = x(y + 4)[4 - (y + 4)] = x(y + 4)(4 - y - 4) = x(y + 4)(-y) $$ **代入 $x = 2$，$y = 5$：** $$ 2(5 + 4)(-5) = 2 \times 9 \times (-5) = -90 $$ --- ## **最终答案总结** ### 分解因式答案： 1. $x(1 + y)$ 2. $x(3x - 2)$ 3. $b(a^2 + 5a - 1)$ 4. $n(2m - n + 8)$ 5. $mn(2n + 1)$ 6. $2xy^2(3 - 4xy)$ 7. $3ab(2a + 3b - 5)$ 8. $3n(m^2 - m + 2)$ 9. $4x^2y(y^2 + 2xy + 3x^2)$ 10. $(x - y)(2m - 3n)$ 11. $(a - b)^2(a + b)$ 12. $3x(y - 2)(x - 1)$ ### 综合计算答案： 1. $999000$ 2. $0.88$ ### 求值答案： 1. $-8$ 2. $-90$ --- ✅ **答案汇总：** - 分解因式：见上 - 综合计算：(1) $\boxed{999000}$，(2) $\boxed{0.88}$ - 求值：(1) $\boxed{-8}$，(2) $\boxed{-90}$

解析

本题主要考查因式分解的方法及应用，包括提公因式法、整体思想在因式分解中的应用，以及利用因式分解简化计算和求值。

一、分解因式（提公因式法）

提公因式法的关键是找出各项的最大公因式（系数的最大公约数+相同字母的最低次幂），提取后将剩余项合并。

  1. $x + xy$：公因式为$x$，提取后得$x(1 + y)$。
  2. $-2x + 3x^2$：公因式为$x$，提取后得$x(3x - 2)$（注意符号整理）。
  3. $a^2b + 5ab - b$：公因式为$b$，提取后得$b(a^2 + 5a - 1)$。
  4. $2mn - n^2 + 8n$：公因式为$n$，提取后得$n(2m - n + 8)$。

二、综合运用（因式分解简化计算）

利用提公因式法将相同因子提取，简化运算：

  1. $999^2 + 999$：提取公因式$999$，得$999(999 + 1) = 999×1000 = 999000$。
  2. $17×0.11 + 37×0.11 - 46×0.11$：提取公因式$0.11$，得$0.11(17 + 37 - 46) = 0.11×8 = 0.88$。

三、分解因式（公因式为多项式或多次式）

公因式可能是多项式（如$(x - y)$）或多次式（如$(a - b)^2$），需整体提取：

  1. $2mn^2 + mn$：公因式为$mn$，得$mn(2n + 1)$。
  2. $6xy^2 - 8x^2y^3$：公因式为$2xy^2$，得$2xy^2(3 - 4xy)$。
  3. $6a^2b + 9ab^2 - 15ab$：公因式为$3ab$，得$3ab(2a + 3b - 5)$。
  4. $3m^2n - 3mn + 6n$：公因式为$3n$，得$3n(m^2 - m + 2)$。
  5. $4x^2y^3 + 8x^3y^2 + 12x^4y$：公因式为$4x^2y$，得$4x^2y(y^2 + 2xy + 3x^2)$。
  6. $2m(x - y) - 3n(x - y)$：公因式为$(x - y)$，得$(x - y)(2m - 3n)$。
  7. $2a(a - b)^2 - (a - b)^3$：公因式为$(a - b)^2$，得$(a - b)^2(2a - (a - b)) = (a - b)^2(a + b)$。
  8. $x^2(3y - 6) + x(6 - 3y)$：转化为$x^2(3y - 6) - x(3y - 6)$，公因式为$(3y - 6)$，得$3(y - 2)x(x - 1)$。

四、先分解因式，再求值

先提取公因式简化表达式，再代入数值计算：

  1. 积分 $(a - 2)^2 - 6(2 - a)$**：转化为$(a - 2)^2 + 6积分6(a - 2)$，得$(a - 2)(a + 4)$，代入$a = -2$：$(-4)(2) = -8$。
  2. $4x(y + 4) - x(y + 4)^2$：提取公因式$x(y + 4)$，得$x(y + 4)(-y)$，代入$x = 2$，$y = 5$：$2×9×(-5) = -90$。