题目
填空题（共23题，45.0分）6. (2.0分) int (5x+9)dx=____.
填空题（共23题，45.0分）
6. (2.0分) $\int (5x+9)dx=$____.
题目解答
答案
要解决积分 $\int (5x+9) \, dx$，我们可以使用积分的线性性质，该性质表明函数之和的积分等于函数积分之和。因此，我们可以将积分分为两部分：
\[
\int (5x+9) \, dx = \int 5x \, dx + \int 9 \, dx
\]
接下来，我们分别积分每一部分。$5x$ 的积分是通过将 $x$ 的指数提高1，然后除以新的指数来找到的。由于 $x$ 的指数是1，提高后为2，我们得到：
\[
\int 5x \, dx = 5 \int x \, dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2}
\]
常数 $9$ 的积分是 $9$ 乘以 $x$，因为 $x$ 的导数是1：
\[
\int 9 \, dx = 9x
\]
将这些结果结合起来，我们得到：
\[
\int (5x+9) \, dx = \frac{5x^2}{2} + 9x + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是：
\[
\boxed{\frac{5x^2}{2} + 9x + C}
\]
解析
步骤 1：应用积分的线性性质
根据积分的线性性质，我们可以将积分 $\int (5x+9) \, dx$ 分解为两个积分的和： \[ \int (5x+9) \, dx = \int 5x \, dx + \int 9 \, dx \]
步骤 2：计算 $\int 5x \, dx$
对于 $\int 5x \, dx$，我们使用幂函数的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$。这里 $n=1$，所以： \[ \int 5x \, dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2} \]
步骤 3：计算 $\int 9 \, dx$
对于 $\int 9 \, dx$，我们使用常数函数的积分公式 $\int a \, dx = ax + C$，其中 $a$ 是常数。这里 $a=9$，所以： \[ \int 9 \, dx = 9x \]
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合起来，我们得到： \[ \int (5x+9) \, dx = \frac{5x^2}{2} + 9x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。
根据积分的线性性质，我们可以将积分 $\int (5x+9) \, dx$ 分解为两个积分的和： \[ \int (5x+9) \, dx = \int 5x \, dx + \int 9 \, dx \]
步骤 2：计算 $\int 5x \, dx$
对于 $\int 5x \, dx$，我们使用幂函数的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$。这里 $n=1$，所以： \[ \int 5x \, dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2} \]
步骤 3：计算 $\int 9 \, dx$
对于 $\int 9 \, dx$，我们使用常数函数的积分公式 $\int a \, dx = ax + C$，其中 $a$ 是常数。这里 $a=9$，所以： \[ \int 9 \, dx = 9x \]
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合起来，我们得到： \[ \int (5x+9) \, dx = \frac{5x^2}{2} + 9x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。