题目
设椭圆C：((x)^2)/(2)+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
题目解答
答案
解：（1）c=$\sqrt{2-1}$=1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴A（1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$），或（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴直线AM的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜$\sqrt{2}$，x2＜$\sqrt{2}$，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
将y=k（x-1）代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x1x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴2kx1x2-3k（x1+x2）+4k=$\frac{1}{2{k}^{2}+1}$（4k3-4k-12k3+8k3+4k）=0
从而kMA+kMB=0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴A（1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$），或（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴直线AM的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜$\sqrt{2}$，x2＜$\sqrt{2}$，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
将y=k（x-1）代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x1x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴2kx1x2-3k（x1+x2）+4k=$\frac{1}{2{k}^{2}+1}$（4k3-4k-12k3+8k3+4k）=0
从而kMA+kMB=0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
解析
步骤 1：确定椭圆的右焦点
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y^{2}=1，根据椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其中a^2=2，b^2=1，所以c^2=a^2-b^2=2-1=1，c=1。因此，椭圆的右焦点F的坐标为（1，0）。
步骤 2：求直线AM的方程
当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1。将x=1代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y^{2}=1，得到$\frac{1}{2}$+y^{2}=1，解得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$。因此，A点的坐标为（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）。点M的坐标为（2，0）。根据两点式方程，直线AM的方程为y-y_1=$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$(x-x_1)。将A点和M点的坐标代入，得到直线AM的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$或y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$。
步骤 3：证明∠OMA=∠OMB
当直线l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°。当直线l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB。当直线l与x轴不重合也不垂直时，设直线l的方程为y=k(x-1)，k≠0。A点和B点的坐标分别为(x_1，y_1)和(x_2，y_2)，则x_1＜$\sqrt{2}$，x_2＜$\sqrt{2}$。直线MA和MB的斜率之和为k_MA+k_MB=$\frac{y_1}{x_1-2}$+$\frac{y_2}{x_2-2}$。将y_1=kx_1-k，y_2=kx_2-k代入，得到k_MA+k_MB=$\frac{2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k}{(x_1-2)(x_2-2)}$。将y=k(x-1)代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y^{2}=1，得到(2k^{2}+1)x^{2}-4k^{2}x+2k^{2}-2=0。解得x_1+x_2=$\frac{4k^{2}}{2k^{2}+1}$，x_1x_2=$\frac{2k^{2}-2}{2k^{2}+1}$。将x_1+x_2和x_1x_2代入k_MA+k_MB的表达式，得到2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k=$\frac{1}{2k^{2}+1}$(4k^{3}-4k-12k^{2}+8k^{2}+4k)=0。因此，k_MA+k_MB=0，MA和MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB。
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y^{2}=1，根据椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其中a^2=2，b^2=1，所以c^2=a^2-b^2=2-1=1，c=1。因此，椭圆的右焦点F的坐标为（1，0）。
步骤 2：求直线AM的方程
当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1。将x=1代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y^{2}=1，得到$\frac{1}{2}$+y^{2}=1，解得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$。因此，A点的坐标为（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）。点M的坐标为（2，0）。根据两点式方程，直线AM的方程为y-y_1=$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$(x-x_1)。将A点和M点的坐标代入，得到直线AM的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$或y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$。
步骤 3：证明∠OMA=∠OMB
当直线l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°。当直线l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB。当直线l与x轴不重合也不垂直时，设直线l的方程为y=k(x-1)，k≠0。A点和B点的坐标分别为(x_1，y_1)和(x_2，y_2)，则x_1＜$\sqrt{2}$，x_2＜$\sqrt{2}$。直线MA和MB的斜率之和为k_MA+k_MB=$\frac{y_1}{x_1-2}$+$\frac{y_2}{x_2-2}$。将y_1=kx_1-k，y_2=kx_2-k代入，得到k_MA+k_MB=$\frac{2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k}{(x_1-2)(x_2-2)}$。将y=k(x-1)代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y^{2}=1，得到(2k^{2}+1)x^{2}-4k^{2}x+2k^{2}-2=0。解得x_1+x_2=$\frac{4k^{2}}{2k^{2}+1}$，x_1x_2=$\frac{2k^{2}-2}{2k^{2}+1}$。将x_1+x_2和x_1x_2代入k_MA+k_MB的表达式，得到2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k=$\frac{1}{2k^{2}+1}$(4k^{3}-4k-12k^{2}+8k^{2}+4k)=0。因此，k_MA+k_MB=0，MA和MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB。