题目
一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为，（1）若至少有一次及格则他取得某种资格，求他取得某种资格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.
一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为
，（1）若至少有一次及格则他取得某种资格，求他取得某种资格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.
题目解答
答案
用A表示第一次及格，用B表示第二次及格，则
，
，则
，
，（1）至少有一次及格的概率为
；（2）
，则
，已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为
.
解析
步骤 1：定义事件
设事件A表示第一次考试及格，事件B表示第二次考试及格。根据题意，有$P(A)=p$，$P(\overline{A})=1-p$，$P(B|A)=p$，$P(B|\overline{A})=\frac{p}{2}$。
步骤 2：计算至少有一次及格的概率
至少有一次及格的概率为$P(A\cup B)$，根据概率的加法公式，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。其中，$P(AB)=P(B|A)P(A)=p^2$，$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})=p^2+\frac{p}{2}(1-p)$。因此，$P(A\cup B)=p+p^2+\frac{p}{2}(1-p)-p^2=1-\frac{p}{2}+\frac{p^2}{2}$。
步骤 3：计算已知第二次及格时第一次及格的概率
已知第二次及格时第一次及格的概率为$P(A|B)$，根据条件概率公式，有$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{p^2}{p^2+\frac{p}{2}(1-p)}=\frac{2p^2}{2p^2+p(1-p)}=\frac{2p^2}{p(2p+1-p)}=\frac{2p^2}{p(1+p)}=\frac{2p}{1+p}$。
设事件A表示第一次考试及格，事件B表示第二次考试及格。根据题意，有$P(A)=p$，$P(\overline{A})=1-p$，$P(B|A)=p$，$P(B|\overline{A})=\frac{p}{2}$。
步骤 2：计算至少有一次及格的概率
至少有一次及格的概率为$P(A\cup B)$，根据概率的加法公式，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。其中，$P(AB)=P(B|A)P(A)=p^2$，$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})=p^2+\frac{p}{2}(1-p)$。因此，$P(A\cup B)=p+p^2+\frac{p}{2}(1-p)-p^2=1-\frac{p}{2}+\frac{p^2}{2}$。
步骤 3：计算已知第二次及格时第一次及格的概率
已知第二次及格时第一次及格的概率为$P(A|B)$，根据条件概率公式，有$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{p^2}{p^2+\frac{p}{2}(1-p)}=\frac{2p^2}{2p^2+p(1-p)}=\frac{2p^2}{p(2p+1-p)}=\frac{2p^2}{p(1+p)}=\frac{2p}{1+p}$。