题目
两平面 -x+2y-z+1=0, y+3z-1=0 的位置关系为()。 A. 两平面相交，夹角为 theta=arccos(1)/(sqrt(60))B. 两平面相交，夹角为 theta=(pi)/(6)C. 两平面相交，夹角为 theta=(pi)/(3)D. 两平面平行
两平面 $-x+2y-z+1=0$, $y+3z-1=0$ 的位置关系为()。
- A. 两平面相交，夹角为 $\theta=\arccos\frac{1}{\sqrt{60}}$
- B. 两平面相交，夹角为 $\theta=\frac{\pi}{6}$
- C. 两平面相交，夹角为 $\theta=\frac{\pi}{3}$
- D. 两平面平行
题目解答
答案
为了确定两平面 $-x + 2y - z + 1 = 0$ 和 $y + 3z - 1 = 0$ 的位置关系，我们需要分析它们的法向量之间的关系。两个平面的法向量分别由它们的方程的系数给出。
第一个平面 $-x + 2y - z + 1 = 0$ 的法向量是 $\mathbf{n_1} = (-1, 2, -1)$。
第二个平面 $y + 3z - 1 = 0$ 的法向量是 $\mathbf{n_2} = (0, 1, 3)$。
如果两个平面平行，它们的法向量必须平行，即 $\mathbf{n_1} = k \mathbf{n_2}$ 对于某个标量 $k$。让我们检查这是否成立：
\[
\mathbf{n_1} = (-1, 2, -1) \quad \text{和} \quad \mathbf{n_2} = (0, 1, 3)
\]
显然，$\mathbf{n_1}$ 不是 $\mathbf{n_2}$ 的标量倍数，因为 $-1$ 不能写成 $0$ 的倍数。因此，两个平面不平行。
接下来，我们通过计算法向量之间的余弦值来确定两个平面之间的夹角 $\theta$。两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角的余弦值由下式给出：
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{$\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$}
\]
首先，我们计算点积 $\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}$：
\[
\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0 + 2 - 3 = -1
\]
接下来，我们计算法向量的模：
\[
$\mathbf{n_1}$ = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
\]
\[
$\mathbf{n_2}$ = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10}
\]
现在，我们可以找到 $\cos \theta$：
\[
\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{6} \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{60}} = -\frac{1}{\sqrt{60}}
\]
由于两个平面之间的夹角总是取最小的正角，我们取绝对值：
\[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{60}}
\]
因此，夹角 $\theta$ 是：
\[
\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{60}}
\]
所以，两个平面相交，夹角为 $\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{60}}$。正确答案是：
\[
\boxed{A}
\]
解析
步骤 1：确定两平面的法向量
两平面的法向量分别由它们的方程的系数给出。第一个平面 $-x + 2y - z + 1 = 0$ 的法向量是 $\mathbf{n_1} = (-1, 2, -1)$。第二个平面 $y + 3z - 1 = 0$ 的法向量是 $\mathbf{n_2} = (0, 1, 3)$。
步骤 2：判断两平面是否平行
如果两个平面平行，它们的法向量必须平行，即 $\mathbf{n_1} = k \mathbf{n_2}$ 对于某个标量 $k$。显然，$\mathbf{n_1}$ 不是 $\mathbf{n_2}$ 的标量倍数，因为 $-1$ 不能写成 $0$ 的倍数。因此，两个平面不平行。
步骤 3：计算两平面的夹角
两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角的余弦值由下式给出： \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{$\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$} \] 首先，我们计算点积 $\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}$： \[ \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0 + 2 - 3 = -1 \] 接下来，我们计算法向量的模： \[ $\mathbf{n_1}$ = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ $\mathbf{n_2}$ = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10} \] 现在，我们可以找到 $\cos \theta$： \[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{6} \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{60}} = -\frac{1}{\sqrt{60}} \] 由于两个平面之间的夹角总是取最小的正角，我们取绝对值： \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{60}} \] 因此，夹角 $\theta$ 是： \[ \theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{60}} \]
两平面的法向量分别由它们的方程的系数给出。第一个平面 $-x + 2y - z + 1 = 0$ 的法向量是 $\mathbf{n_1} = (-1, 2, -1)$。第二个平面 $y + 3z - 1 = 0$ 的法向量是 $\mathbf{n_2} = (0, 1, 3)$。
步骤 2：判断两平面是否平行
如果两个平面平行，它们的法向量必须平行，即 $\mathbf{n_1} = k \mathbf{n_2}$ 对于某个标量 $k$。显然，$\mathbf{n_1}$ 不是 $\mathbf{n_2}$ 的标量倍数，因为 $-1$ 不能写成 $0$ 的倍数。因此，两个平面不平行。
步骤 3：计算两平面的夹角
两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角的余弦值由下式给出： \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{$\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$} \] 首先，我们计算点积 $\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}$： \[ \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0 + 2 - 3 = -1 \] 接下来，我们计算法向量的模： \[ $\mathbf{n_1}$ = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ $\mathbf{n_2}$ = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10} \] 现在，我们可以找到 $\cos \theta$： \[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{6} \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{60}} = -\frac{1}{\sqrt{60}} \] 由于两个平面之间的夹角总是取最小的正角，我们取绝对值： \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{60}} \] 因此，夹角 $\theta$ 是： \[ \theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{60}} \]