题目
求微分方程^n+2y'-3y=5(e)^2x的通解.
求微分方程
的通解.
题目解答
答案
答案：
.
由题，微分方程
则对应的齐次方程的特征方程为
则
则齐次方程的通解为
可设特解为
则
则
则
，解得：
则题中微分方程通解为.
解析
步骤 1：求解齐次方程的特征方程
微分方程$y'+2y'-3y=5{e}^{2x}$对应的齐次方程为$y'+2y'-3y=0$。其特征方程为${r}^{2}+2r-3=0$。解这个二次方程，得到特征根${r}_{1}=-3$和${r}_{2}=1$。
步骤 2：写出齐次方程的通解
根据特征根${r}_{1}=-3$和${r}_{2}=1$，齐次方程的通解为$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-3x}$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$是任意常数。
步骤 3：求解非齐次方程的特解
由于非齐次项为$5{e}^{2x}$，我们假设特解形式为$y={Ce}^{2x}$。将特解代入原方程，得到$4{Ce}^{2x}+2{Ce}^{2x}-3{Ce}^{2x}=5{e}^{2x}$，即$3{Ce}^{2x}=5{e}^{2x}$。解得$C=\dfrac{5}{3}$。因此，特解为$y=\dfrac{5}{3}{e}^{2x}$。
步骤 4：写出原方程的通解
原方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-3x}+\dfrac{5}{3}{e}^{2x}$。
微分方程$y'+2y'-3y=5{e}^{2x}$对应的齐次方程为$y'+2y'-3y=0$。其特征方程为${r}^{2}+2r-3=0$。解这个二次方程，得到特征根${r}_{1}=-3$和${r}_{2}=1$。
步骤 2：写出齐次方程的通解
根据特征根${r}_{1}=-3$和${r}_{2}=1$，齐次方程的通解为$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-3x}$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$是任意常数。
步骤 3：求解非齐次方程的特解
由于非齐次项为$5{e}^{2x}$，我们假设特解形式为$y={Ce}^{2x}$。将特解代入原方程，得到$4{Ce}^{2x}+2{Ce}^{2x}-3{Ce}^{2x}=5{e}^{2x}$，即$3{Ce}^{2x}=5{e}^{2x}$。解得$C=\dfrac{5}{3}$。因此，特解为$y=\dfrac{5}{3}{e}^{2x}$。
步骤 4：写出原方程的通解
原方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即$y={C}_{1}{e}^{x}+{C}_{2}{e}^{-3x}+\dfrac{5}{3}{e}^{2x}$。