题目
4.判断题向量β被向量组alpha_(1),alpha_(2),...,alpha_(n)线性表示，记A=[alpha_(1),alpha_(2),...,alpha_(n)]，则Ax=β可能无解。A. 对B. 错
4.判断题
向量β被向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$线性表示，记A=$[\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}]$，则Ax=β可能无解。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解向量线性表示的含义
向量 $\beta$ 被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，意味着存在一组标量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，使得 $\beta$ 可以表示为这些向量的线性组合，即： \[ \beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n \]
步骤 2：将线性表示转化为矩阵方程
根据步骤 1 的线性表示，可以将上述表达式写成矩阵方程的形式，即： \[ A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \beta \] 其中 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]$ 是由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 组成的矩阵。
步骤 3：分析矩阵方程的解
由于 $\beta$ 能被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，根据步骤 2 的矩阵方程，方程 $Ax = \beta$ 必定有解。因此，题目中“可能无解”的说法是错误的。
向量 $\beta$ 被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，意味着存在一组标量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，使得 $\beta$ 可以表示为这些向量的线性组合，即： \[ \beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n \]
步骤 2：将线性表示转化为矩阵方程
根据步骤 1 的线性表示，可以将上述表达式写成矩阵方程的形式，即： \[ A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \beta \] 其中 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]$ 是由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 组成的矩阵。
步骤 3：分析矩阵方程的解
由于 $\beta$ 能被向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，根据步骤 2 的矩阵方程，方程 $Ax = \beta$ 必定有解。因此，题目中“可能无解”的说法是错误的。