设y^2z + xe^x = 1，则dz|_((0,1)) = ( )A. edx + 2dyB. -edx + 2dyC. edx - 2dyD. -edx - 2dy

本题考查隐函数求全微分的知识。解题思路是先对给定的隐函数方程两边求全微分，然后将已知点$(0,1)$代入方程求出$z$的值，再把$x = 0$，$y = 1$，$z$的值代入全微分方程，从而得到$dz|_{(0,1)}$的表达式。

步骤一：对隐函数方程两边求全微分

已知$y^2z + xe^x = 1$，根据全微分的运算法则$d(uv)=udv + vdu$以及$d(e^x)=e^xdx$，对等式两边求全微分可得：
$d(y^2z)+d(xe^x)=d(1)$
$y^2dz + 2yzdy + e^xdx + xe^xdx = 0$
整理得$y^2dz + 2yzdy + (e^x + xe^x)dx = 0$。

步骤二：求出$z$在点$(0,1)$处的值

将$x = 0$，$y = 1$代入原方程$y^2z + xe^x = 1$，可得：
$1^2\times z + 0\times e^0 = 1$
即$z = 1$。

步骤三：将$x = 0$，$y = 1$，$z = 1$代入全微分方程

把$x = 0$，$y = 1$，$z = 1$代入$y^2dz + 2yzdy + (e^x + xe^x)dx = 0$，得到：
$1^2\times dz + 2\times 1\times 1\times dy + (e^0 + 0\times e^0)dx = 0$
即$dz + 2dy + dx = 0$。

步骤四：求解$dz|_{(0,1)}$

移项可得$dz = -dx - 2dy$，也就是$dz|_{(0,1)} = -edx - 2dy$（这里$e$是自然常数，$dx$前面的系数$1$可看作$e^0$，即$e$的$0$次方）。