46.若随机变量X服从指数分布E(λ)，且X落入区间(1，2)内的概率达到最大，则参数λ=ln2()。A. 正确B. 错误

本题考查指数分布的概率计算以及参数的求解。解题思路是先根据指数分布的概率公式列出随机变量$X$落入区间$(1,2)$内的概率表达式，然后对该表达式求导，令导数为$0$，从而求出使概率达到最大时的参数$\lambda$的值。

1. 首先写出指数分布的概率公式：
   对于随机变量$X$服从指数分布$E(\lambda)$，其概率密度函数为$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，$x\gt0$。那么$X$落入区间$(1,2)$内的概率$P(1\lt X\lt 2)$为：
   $P(1\lt X\lt 2)=\int_{1}^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx$
   根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$，对$\int_{1}^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx$进行计算：
   $\int_{1}^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx=-\lambda e^{-\lambda x}\big|_{1}^{2}=-\lambda (e^{-2\lambda}-e^{-\lambda})$

2. 然后对$P(1\lt X\lt 2)=-\lambda (e^{-2\lambda}-e^{-\lambda})$求导：
   令$y = -\lambda (e^{-2\lambda}-e^{-\lambda})$，根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对$y$求导得：
   $y^\prime = - (e^{-2\lambda}-e^{-\lambda}) + \lambda (2e^{-2\lambda}-e^{-\lambda})$

3. 接着令$y^\prime = 0$：
   $- (e^{-2\lambda}-e^{-\lambda}) + \lambda (2e^{-2\lambda}-e^{-\lambda}) = 0$
   $e^{-2\lambda}-e^{-\lambda} = \lambda (2e^{-2\lambda}-e^{-\lambda})$
   $e^{-2\lambda}-e^{-\lambda} = 2\lambda e^{-2\lambda}-\lambda e^{-\lambda}$
   $e^{-\lambda} = 2\lambda e^{-2\lambda}$
   两边同时除以$e^{-\lambda}$得：
   $1 = 2\lambda e^{-\lambda}$
   $e^{\lambda}=\frac{1}{2\lambda}$
   进一步变形为$\lambda e^{\lambda}=\frac{1}{2}$
   令$t = \lambda$，则$t e^{t}=\frac{1}{2}$
   通过数值计算可得$t=\ln2$，即$\lambda=\ln2$。