题目

设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C= A. E B. -E C. A D. -A

设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C=

  • E
  • -E
  • A
  • -A

题目解答

答案

由B=E+AB=>(E-A)1:=E=>B=(E-A)1由c=A+c1)c(E-A)=A)c=A(E-A厂1那么BC=(E-A)-A(E-A)=(E-A)(E-A)=E.故应选(A)

解析

步骤 1：求解矩阵B
由B=E+AB，可以得到B-E=AB，即B-E=AB，移项得到B-AB=E，提取B得到B(E-A)=E，因此B=(E-A)^{-1}。

步骤 2：求解矩阵C
由C=A+CA，可以得到C-A=CA，即C-A=CA，移项得到C-CA=A，提取C得到C(E-A)=A，因此C=A(E-A)^{-1}。

步骤 3：计算B-C
根据步骤1和步骤2，我们有B=(E-A)^{-1}，C=A(E-A)^{-1}，因此B-C=(E-A)^{-1}-A(E-A)^{-1}=(E-A)^{-1}(E-A)=(E-A)^{-1}(E-A)=E。