题目
下列说法错误的是（） A. 若函数 P(x,y), Q(x,y) 在单连通区域 G 内具有一阶连续的偏导数，则 (partial P)/(partial y) = (partial Q)/(partial x) 是曲线积分 int_(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy 在 G 内与路径无关的充要条件.B. 函数 P(x,y), Q(x,y) 在单连通区域内具有一阶连续的偏导数是曲线积分 int_(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy 与路径无关的充分条件.C. 若函数 P(x,y), Q(x,y) 在单连通区域 G 内具有一阶连续的偏导数，则 (partial P)/(partial y) = (partial Q)/(partial x) Leftrightarrow oint_(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 （其中 L 为 G 内的任意一条封闭曲线）.D. oint_(L) (6xy^2 - y^3)dx + (6x^2y - 3xy^2)dy = 0 在 xoy 平面恒成立（其中 L 为 xoy 平面内的任意一条封闭曲线）.
下列说法错误的是（）
- A. 若函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续的偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 是曲线积分 $\int_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 在 $G$ 内与路径无关的充要条件.
- B. 函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域内具有一阶连续的偏导数是曲线积分 $\int_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 与路径无关的充分条件.
- C. 若函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续的偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \Leftrightarrow \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ （其中 $L$ 为 $G$ 内的任意一条封闭曲线）.
- D. $\oint_{L} (6xy^2 - y^3)dx + (6x^2y - 3xy^2)dy = 0$ 在 $xoy$ 平面恒成立（其中 $L$ 为 $xoy$ 平面内的任意一条封闭曲线）.
题目解答
答案
**答案：B**
**解析：**
- **选项A**：正确。由格林定理，若 $P$、$Q$ 在单连通区域 $G$ 内有一阶连续偏导数，且 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则曲线积分与路径无关。
- **选项B**：错误。仅具有一阶连续偏导数不充分，需满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
- **选项C**：正确。由格林定理，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 等价于沿任意闭曲线积分为零。
- **选项D**：正确。计算得 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy - 3y^2$，满足条件。
**答案：B**
解析
步骤 1：分析选项A
选项A中提到，若函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续的偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 是曲线积分 $\int_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 在 $G$ 内与路径无关的充要条件。这是正确的，因为根据格林定理，若 $P$、$Q$ 在单连通区域 $G$ 内有一阶连续偏导数，且 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则曲线积分与路径无关。
步骤 2：分析选项B
选项B中提到，函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域内具有一阶连续的偏导数是曲线积分 $\int_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 与路径无关的充分条件。这是错误的，因为仅具有一阶连续偏导数不充分，还需满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
步骤 3：分析选项C
选项C中提到，若函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续的偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \Leftrightarrow \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ （其中 $L$ 为 $G$ 内的任意一条封闭曲线）。这是正确的，因为根据格林定理，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 等价于沿任意闭曲线积分为零。
步骤 4：分析选项D
选项D中提到，$\oint_{L} (6xy^2 - y^3)dx + (6x^2y - 3xy^2)dy = 0$ 在 $xoy$ 平面恒成立（其中 $L$ 为 $xoy$ 平面内的任意一条封闭曲线）。这是正确的，因为计算得 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy - 3y^2$，满足条件。
选项A中提到，若函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续的偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 是曲线积分 $\int_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 在 $G$ 内与路径无关的充要条件。这是正确的，因为根据格林定理，若 $P$、$Q$ 在单连通区域 $G$ 内有一阶连续偏导数，且 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则曲线积分与路径无关。
步骤 2：分析选项B
选项B中提到，函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域内具有一阶连续的偏导数是曲线积分 $\int_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 与路径无关的充分条件。这是错误的，因为仅具有一阶连续偏导数不充分，还需满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
步骤 3：分析选项C
选项C中提到，若函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续的偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \Leftrightarrow \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ （其中 $L$ 为 $G$ 内的任意一条封闭曲线）。这是正确的，因为根据格林定理，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 等价于沿任意闭曲线积分为零。
步骤 4：分析选项D
选项D中提到，$\oint_{L} (6xy^2 - y^3)dx + (6x^2y - 3xy^2)dy = 0$ 在 $xoy$ 平面恒成立（其中 $L$ 为 $xoy$ 平面内的任意一条封闭曲线）。这是正确的，因为计算得 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy - 3y^2$，满足条件。